Câu hỏi:

02/10/2025 10 Lưu

Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách \[300\,{\rm{km}}\] để tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là \[6\,{\rm{km/h}}\]. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \[v{\rm{ km/h}}\] thì năng lượng tiêu hao của cả trong \(t\) giờ cho bởi công thức \(E\left( v \right) = c{v^3}t\) trong đó \(c\) là hàng số cho trước. \(E\) tính hằng Jun. Tình vận tốc bơi của cả khi nước đứng yên, để năng lượng của cả tiêu hao ít nhất?

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Theo đề bài, vận tốc của cá khi bơi trên sông là \(v - 6\), khi đó thời gian để cá bơi đến nơi sinh sản là \(t = \frac{{300}}{{v - 6}}\).

Khi đó, \(E\left( v \right) = c{v^3}\frac{{300}}{{v - 6}}\) với \(v > 6\). Đặt \(x = v - 6\).

Bài năng lượng tiêu hao của cá được tính bởi hàm số:

\[f\left( x \right) = 300c\frac{{{{\left( {x + 6} \right)}^3}}}{x} = 300c\left( {{x^2} + 18x + 108 + \frac{{216}}{x}} \right)\] với \(x > 0\).

Ta có: \[f'\left( x \right) = 300c\left( {2x + 18 - \frac{{216}}{{{x^2}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + 18{x^2} - 216 = 0 \Rightarrow x = 3\].

Bảng biến thiên:

Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách \[300\,{\rm{km}}\] để tới nơi sinh sản. (ảnh 1)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\) hay khi vận tốc của cá khi nước đứng yên là \(v = 9\,{\rm{km/h}}\) thì cá ít tốn năng lượng nhất.

Đáp án: 9.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Đúng.

\(h\left( t \right) =  - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow h'\left( t \right) =  - 0,03{t^2} + 2,2t - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 55 \notin \left( {0;50} \right)\\t = 18 \in \left( {0;50} \right)\end{array} \right.\)

Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250 km so với bề mặt của Mặt Trăng (ảnh 1)

b) Sai. Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy trong \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao thấp nhất mà con tàu đạt được tại thời điểm \(t \approx 18\left( {\rm{s}} \right)\).

c) Đúng. \(h\left( t \right) =  - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow v\left( t \right) = h'\left( t \right) =  - 0,03{t^2} + 2,2t - 30\)

\( \Rightarrow a\left( t \right) = v'\left( t \right) =  - 0,06t + 2,2 = 0 \Leftrightarrow t \approx 37\).

Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250 km so với bề mặt của Mặt Trăng (ảnh 2)

Vận tốc của con tàu lớn nhất mà con tàu đạt được là \(10,33\,\,\left( {{\rm{km/s}}} \right)\).

d) Sai. \(h\left( t \right) =  - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow v\left( t \right) = h'\left( t \right) =  - 0,03{t^2} + 2,2t - 30\)

\( \Rightarrow a\left( t \right) = v'\left( t \right) =  - 0,06t + 2,2 = 0 \Leftrightarrow t \approx 37\).

Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250 km so với bề mặt của Mặt Trăng (ảnh 3)

Khi đó: \({v_{{\rm{max}}}} = 10,33 \Leftrightarrow t \approx 37;\,\,\,\,h\left( {37} \right) = 139,37\)km.

Lời giải

Gọi chiều rộng của bể là \(3x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\). Ta có chiều dài bể là \(4x{\rm{ (m)}}\) và chiều cao của bể là \(\frac{2}{{3{x^2}}}\left( {\rm{m}} \right).\)

Khi đó tổng diện tích bề mặt xây là:

\(T = \left( {3x + 4x} \right).2.\frac{2}{{3{x^2}}} + 2.3x.4x - \frac{2}{9}.3x.4x = \frac{{28}}{{3{x^2}}} + \frac{{64{x^2}}}{3} \ge 2.\sqrt {\frac{{28}}{{3{x^2}}}.\frac{{64{x^2}}}{3}}  = \frac{{32\sqrt 7 }}{3}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Chi phí \(C\) (tính theo đồng) xây dựng là: \(C = T.980000 \ge \frac{{32\sqrt 7 }}{3}.980000 \approx 27657000\) (đồng).

Vậy chi phí thấp nhất mà ông Nam phải chi trả là \(28\) triệu đồng.

Đáp án: 28.

Câu 3

A. \[x = 1\].                     
B. \[y = 1\].                   
C. \[y = 0\].                                   
D. \[x = 0\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

A. Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \((2; + \infty )\).
C. Hàm số không có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.
D. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

A. Hàm số không đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\).
B. Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 1\).
C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( { - 1;2} \right)\).
D. Giá trị cực đại của hàm số là \(y = 2\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP