Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách \[300\,{\rm{km}}\] để tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là \[6\,{\rm{km/h}}\]. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \[v{\rm{ km/h}}\] thì năng lượng tiêu hao của cả trong \(t\) giờ cho bởi công thức \(E\left( v \right) = c{v^3}t\) trong đó \(c\) là hàng số cho trước. \(E\) tính hằng Jun. Tình vận tốc bơi của cả khi nước đứng yên, để năng lượng của cả tiêu hao ít nhất?

a) Sai. Vì từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right) \ge 0\) với \(\forall x \ge 1\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

b) Sai. Vì từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) chỉ đổi dấu một lần qua \(x = 1\) nên hàm số có một điểm cực trị.

c) Sai. Từ đồ thị ta có hàm số \(f'\left( x \right)\) có dạng: \(f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).

Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) đi qua \(\left( {0; - 4} \right)\) nên: \( - 4 = a{\left( {0 + 2} \right)^2}\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow a = 1\).

Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) \Rightarrow f'\left( 2 \right) = {\left( {2 + 2} \right)^2}\left( {2 - 1} \right) = 16\).

d) Đúng. Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1\).

Vẽ đường thẳng \(y = x - 1\) trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\).

Khi đó: \(f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\).

 Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\).

Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) nên \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).

a) Đúng.

\(h\left( t \right) =  - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow h'\left( t \right) =  - 0,03{t^2} + 2,2t - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 55 \notin \left( {0;50} \right)\\t = 18 \in \left( {0;50} \right)\end{array} \right.\)

b) Sai. Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy trong \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao thấp nhất mà con tàu đạt được tại thời điểm \(t \approx 18\left( {\rm{s}} \right)\).

c) Đúng. \(h\left( t \right) =  - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow v\left( t \right) = h'\left( t \right) =  - 0,03{t^2} + 2,2t - 30\)

\( \Rightarrow a\left( t \right) = v'\left( t \right) =  - 0,06t + 2,2 = 0 \Leftrightarrow t \approx 37\).

Vận tốc của con tàu lớn nhất mà con tàu đạt được là \(10,33\,\,\left( {{\rm{km/s}}} \right)\).

d) Sai. \(h\left( t \right) =  - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250 \Rightarrow v\left( t \right) = h'\left( t \right) =  - 0,03{t^2} + 2,2t - 30\)

\( \Rightarrow a\left( t \right) = v'\left( t \right) =  - 0,06t + 2,2 = 0 \Leftrightarrow t \approx 37\).

Khi đó: \({v_{{\rm{max}}}} = 10,33 \Leftrightarrow t \approx 37;\,\,\,\,h\left( {37} \right) = 139,37\)km.