Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở hình vẽ dưới đây:

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên.

b) Tính quãng đường và vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên.

a) Sai. Ta có: \(\int {\left( {{t^2} - 8t} \right){\rm{d}}t}  = \frac{{{t^3}}}{3} - 4{t^2} + C\).

b) Sai. Ta có: \(f'\left( t \right) > 0\,\,\)khi \(8 < t < 10\) và \(f'\left( t \right) < 0\,\,\)khi \(3 < t < 8\).

Nên số lượng vi sinh vật giảm trong khoảng từ 3 giờ đến 8 giờ, sau đó tăng dần trong khoảng 8 giờ đến 10 giờ.

c) Đúng. Bảng biến thiên của \(f\left( t \right)\):

d) Đúng. \(f\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} - 4{t^2} + C\). Do \(f\left( 3 \right) = 50 \Rightarrow \frac{{{3^3}}}{3} - {4.3^2} + C = 50 \Rightarrow C = 77\).

Suy ra \(f\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 4{t^2} + 77 \Rightarrow f\left( 6 \right) = 5\).

Để tính diện tích phần đổ bê tông, ta cần xác định diện tích giữa hai đường cong \(AB\) và \(DC\)

Đường cong DC là kết quả của việc tịnh tiến đường cong \(AB\) lên trên \(2\)m.

Giả sử hàm số của đường cong \(AB\) là \(f\left( x \right)\) thì hàm số của đường cong \(DC\) là \(f\left( x \right) + 2\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong là: \[S = \int\limits_0^{10} {\left[ {f\left( x \right) + 2 - f\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = 20\,{{\rm{m}}^2}\].

Lớp bê tông có độ dày là \(15\)cm tức là \(0,15\)m thì có thể tích là: \(20.0,15 = 3{{\rm{m}}^3}\).

Chi phí tổng cộng để đổ bê tông con đường đó là: \(3.1\,080\,000 = 3\,240\,000\) (đồng).