Cho phương trình \[{x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0\] (\(x\) là ẩn số).
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\).
b) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5.
Cho phương trình \[{x^2} - \left( {m + 5} \right)x + 3m + 6 = 0\] (\(x\) là ẩn số).
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\).
b) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
2a) |
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\). |
0,5 |
|
Ta có \[\Delta = {\left( {m + 5} \right)^2} - 4.\left( {3m + 6} \right) = {m^2} + 10m + 25 - 12m - 24\] \[ = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2}\] |
0,25 |
|
|
Vì \[{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m\] nên \(\Delta \ge 0,\forall m\) Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực \(m\). |
0,25 |
|
|
2b) |
Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5. |
0,5 |
|
Vì \(\Delta \ge 0,\forall m\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm là: \({x_1} = \frac{{m + 5 - \left( {m - 1} \right)}}{2} = 3\); \({x_2} = \frac{{m + 5 + \left( {m - 1} \right)}}{2} = m + 2\). Để phương trình có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5 thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 3 > 0\\{x_2} = m + 2 > 0\\x_1^2 + x_2^2 = {5^2}\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\) |
0,25 |
|
|
Giải \(\left( * \right)\): \(x_1^2 + x_2^2 = {5^2}\) \( \Leftrightarrow {3^2} + {\left( {m + 2} \right)^2} = 25\) \( \Leftrightarrow 9 + {m^2} + 4m + 4 = 25\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 12 = 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 6m - 12 = 0\) \( \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) + 6\left( {m - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 6} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\left( {tm} \right)\\m = - 6\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\) Kết luận: \(m = 2\) là giá trị cần tìm. |
0,25 |
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1.Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 9\).
Với \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện) thay vào \[P\] ta có:
\[P = \frac{{9 + 3}}{{\sqrt 9 - 2}}\].\[ = \frac{{9 + 3}}{{3 - 2}} = \frac{{12}}{1} = 12\]
2.Rút gọn biểu thức \(Q\).
Với \[x > 0,x \ne 4\], ta có:
\[Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\].
3.Tìm giá trị của \(x\) để biểu thức \[\frac{P}{Q}\] đạt giá trị nhỏ nhất
Với \(x \ge 0,x \ne 4\), ta có:
\[\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm \(\sqrt x \) và \(\frac{3}{{\sqrt x }}\) ta có:
\(\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} \)
\( \Rightarrow \frac{P}{Q} \ge 2\sqrt 3 \)Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 3\] (thỏa mãn điều kiện).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\frac{P}{Q}\) là \(2\sqrt 3 \) tại \(x = 3\).Lời giải
Gọi vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 2} \right)\)
Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: \(x - 2\) (km/h).
Thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng là \(\frac{{60}}{{x - 2}}\) (giờ).Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: \(x + 2\) (km/h).
Thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là \(\frac{{48}}{{x + 2}}\) (giờ).Do thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ nên ta có phương trình: \(\frac{{60}}{{x - 2}} - \frac{{48}}{{x + 2}} = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{60\left( {x + 2} \right) - 48\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = 1\)
\( \Rightarrow 60x + 120 - 48x + 96 = {x^2} - 4\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 12x - 220 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 22x + 10x - 220 = 0\)
\( \Leftrightarrow x\left( {x - 22} \right) + 10\left( {x - 22} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 22} \right)\left( {x + 10} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 22\left( {tm} \right)\\x = - 10\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)Vậy vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là 22 km/giờ.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo