Bài V
Với hai số thực không âm \(a,b\) thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} = 4\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[M = \frac{{ab}}{{a + b + 2}}\].
Bài V
Với hai số thực không âm \(a,b\) thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} = 4\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[M = \frac{{ab}}{{a + b + 2}}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
Với hai số thực không âm \(a,b\) thỏa mãn \[{a^2} + {b^2} = 4\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[M = \frac{{ab}}{{a + b + 2}}\]. |
0,5 |
|
Ta có: \({a^2} + {b^2} = 4 \Rightarrow 2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - 4\) \( \Rightarrow 2M = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4}}{{a + b + 2}} = a + b - 2\) |
0,25 |
|
Ta có: \(a + b \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} = 2\sqrt 2 \) \( \Rightarrow M \le \sqrt 2 - 1\) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = \sqrt 2 \) Vậy giá trị lớn nhất của \(M\) bằng \(\sqrt 2 - 1\) khi \(a = b = \sqrt 2 \). |
0,25 |
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1.Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 9\).
Với \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện) thay vào \[P\] ta có:
\[P = \frac{{9 + 3}}{{\sqrt 9 - 2}}\].\[ = \frac{{9 + 3}}{{3 - 2}} = \frac{{12}}{1} = 12\]
2.Rút gọn biểu thức \(Q\).
Với \[x > 0,x \ne 4\], ta có:
\[Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\].
3.Tìm giá trị của \(x\) để biểu thức \[\frac{P}{Q}\] đạt giá trị nhỏ nhất
Với \(x \ge 0,x \ne 4\), ta có:
\[\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm \(\sqrt x \) và \(\frac{3}{{\sqrt x }}\) ta có:
\(\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} \)
\( \Rightarrow \frac{P}{Q} \ge 2\sqrt 3 \)Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 3\] (thỏa mãn điều kiện).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\frac{P}{Q}\) là \(2\sqrt 3 \) tại \(x = 3\).Lời giải
Gọi vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 2} \right)\)
Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: \(x - 2\) (km/h).
Thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng là \(\frac{{60}}{{x - 2}}\) (giờ).Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: \(x + 2\) (km/h).
Thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là \(\frac{{48}}{{x + 2}}\) (giờ).Do thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ nên ta có phương trình: \(\frac{{60}}{{x - 2}} - \frac{{48}}{{x + 2}} = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{60\left( {x + 2} \right) - 48\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = 1\)
\( \Rightarrow 60x + 120 - 48x + 96 = {x^2} - 4\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 12x - 220 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 22x + 10x - 220 = 0\)
\( \Leftrightarrow x\left( {x - 22} \right) + 10\left( {x - 22} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 22} \right)\left( {x + 10} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 22\left( {tm} \right)\\x = - 10\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)Vậy vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là 22 km/giờ.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo