Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \((d):y = (m + 2)x + 3\) và parabol \((P):y = {x^2}\).

a) Chứng minh \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên.

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}}\) và \(B = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x + 2\sqrt x  - 3}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).

2) Chứng minh \(B = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\).

3) Tìm tất cả giá trị của \(x\) để \(\frac{A}{B} \ge \frac{x}{4} + 5\).

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x}  + 2\sqrt x \].

Cho đường tròn \((O;R)\) với dây cung \(AB\) không đi qua tâm. Lấy \(S\) là một điểm bất kì trên tia đối của  tia  \(AB\)  (\(S\) khác \(A\)).  Từ  điểm  \(S\)  vẽ  hai  tiếp  tuyến  \(SC\), \(SD\) với  đường tròn \((O;R)\) sao cho điểm \(C\) nằm trên cung nhỏ \(AB\) (\(C,D\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

a) Chứng minh năm điểm \(C,D,H,O,S\) thuộc đường tròn đường kính \(SO\).

b) Khi \(SO = 2R\), hãy tính độ dài đoạn thẳng \(SD\) theo \(R\) và tính số đo \(\widehat {CSD}\).

c) Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(SC\), cắt đoạn thẳng \(CD\) tại điểm \(K\). Chứng minh tứ giác \[ADHK\] là tứ giác nội tiếp và đường thẳng \(BK\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(SC\).

d) Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BD\) và \(F\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(E\) trên đường thẳng \(AD\). Chứng minh rằng, khi điểm \(S\) thay đổi trên tia đối của tia \(AB\) thì điểm \(F\) luôn thuộc một đường tròn cố định.

Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}4x - \left| {y + 2} \right| = 3\\x + 2\left| {y + 2} \right| = 3\end{array} \right.\].