Cho phương trình \(4{x^2} + \left( {{m^2} + 2m - 15} \right)x + {\left( {m + 1} \right)^2} - 20 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \(x_1^2 + {x_2} + 2019 = 0\).

a) • Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\):

Hàm số \(y = 2{x^2}\) có hệ số \(a = 2 > 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x > 0\), nghịch biến khi \(x < 0\) và đồ thị hàm số là parabol có bề lõm quay lên trên, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

Bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) là parabol đi qua các điểm \(\left( { - 2;8} \right),\left( { - 1;2} \right),\left( {0;0} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;8} \right)\).

• Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - 2x + 4\):

Cho \(x = 0\) thì \(y = 4\), ta được điểm \(\left( {0;4} \right)\).

Cho \(y = 0\) thì \(x = 2\), ta được điểm \(\left( {2;0} \right)\).

Đồ thị hàm số \(y =  - 2x + 4\) là đường thẳng đi qua 2 điểm trên.

Ta vẽ các đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) và \(y =  - 2x + 4\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y =  - 2x + 4\)và parabol \(y = 2{x^2}\):

\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x + 2x - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Với \(x = 1 \Rightarrow y = 2\)

Với \(x =  - 2 \Rightarrow y = 8\)

Vậy giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là \(A\left( {1;2} \right);B\left( { - 2;8} \right)\).

* Tính khoảng cách từ \(M\left( { - 2;0} \right)\) đến đường thẳng \[AB\].

Kẻ \(MH \bot AB\left( {M \in AB} \right).\)

Do đó khoảng cách từ \(M\left( { - 2;0} \right)\) xuống đường thẳng \[AB\] chính là độ dài đoạn thẳng \(MH.\)

Gọi \(C\) là giao điểm của \(AB\) và \(Ox\) \( \Rightarrow C\left( {2;0} \right)\).

Dễ thấy \(\Delta MAC\) vuông tại \(M\), \(MA = 8,MC = 4\)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông \(\Delta MAC\), ta có:

\(\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{M{A^2}}} + \frac{1}{{M{C^2}}} = \frac{1}{{{8^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} = \frac{5}{{64}}\)

\( \Leftrightarrow MH = \frac{{8\sqrt 5 }}{5}\) (đơn vị dài)

Vậy khoảng cách cần tìm là \(MH = \frac{{8\sqrt 5 }}{5}\).

Đặt \(t = {x^2}(t \ge 0)\). Khi đó phương trình trở thành:

\[4{t^2} + 7t - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4{t^2} + 8t - t - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4t\left( {t + 2} \right) - \left( {t + 2} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {t + 2} \right)\left( {4t - 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 2\left( {ktm} \right)\\t = \frac{1}{4}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\]

Với \[t = \frac{1}{4} \Rightarrow {x^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{1}{2}\].

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right\}\)