Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Đà Nẵng có đáp án

\(A = \sqrt {12}  + \sqrt {18}  - \sqrt 8  - 2\sqrt 3 \)

\( = \sqrt {3.4}  + \sqrt {9.2}  - \sqrt {4.2}  - 2\sqrt 3 \)

\( = 2\sqrt 3  + 3\sqrt 2  - 2\sqrt 2  - 2\sqrt 3 \)

\( = \sqrt 2 \).

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\4x + 5y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 8y = 12\\4x + 5y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 6\\x = 3 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;2} \right)\).

Đặt \(t = {x^2}(t \ge 0)\). Khi đó phương trình trở thành:

\[4{t^2} + 7t - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4{t^2} + 8t - t - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4t\left( {t + 2} \right) - \left( {t + 2} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {t + 2} \right)\left( {4t - 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 2\left( {ktm} \right)\\t = \frac{1}{4}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\]

Với \[t = \frac{1}{4} \Rightarrow {x^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{1}{2}\].

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right\}\)

a) • Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\):

Hàm số \(y = 2{x^2}\) có hệ số \(a = 2 > 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x > 0\), nghịch biến khi \(x < 0\) và đồ thị hàm số là parabol có bề lõm quay lên trên, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

Bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) là parabol đi qua các điểm \(\left( { - 2;8} \right),\left( { - 1;2} \right),\left( {0;0} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;8} \right)\).

• Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - 2x + 4\):

Cho \(x = 0\) thì \(y = 4\), ta được điểm \(\left( {0;4} \right)\).

Cho \(y = 0\) thì \(x = 2\), ta được điểm \(\left( {2;0} \right)\).

Đồ thị hàm số \(y =  - 2x + 4\) là đường thẳng đi qua 2 điểm trên.

Ta vẽ các đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) và \(y =  - 2x + 4\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y =  - 2x + 4\)và parabol \(y = 2{x^2}\):

\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x + 2x - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Với \(x = 1 \Rightarrow y = 2\)

Với \(x =  - 2 \Rightarrow y = 8\)

Vậy giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là \(A\left( {1;2} \right);B\left( { - 2;8} \right)\).

* Tính khoảng cách từ \(M\left( { - 2;0} \right)\) đến đường thẳng \[AB\].

Kẻ \(MH \bot AB\left( {M \in AB} \right).\)

Do đó khoảng cách từ \(M\left( { - 2;0} \right)\) xuống đường thẳng \[AB\] chính là độ dài đoạn thẳng \(MH.\)

Gọi \(C\) là giao điểm của \(AB\) và \(Ox\) \( \Rightarrow C\left( {2;0} \right)\).

Dễ thấy \(\Delta MAC\) vuông tại \(M\), \(MA = 8,MC = 4\)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông \(\Delta MAC\), ta có:

\(\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{M{A^2}}} + \frac{1}{{M{C^2}}} = \frac{1}{{{8^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} = \frac{5}{{64}}\)

\( \Leftrightarrow MH = \frac{{8\sqrt 5 }}{5}\) (đơn vị dài)

Vậy khoảng cách cần tìm là \(MH = \frac{{8\sqrt 5 }}{5}\).

Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta  \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{m^2} + 2m - 15} \right)^2} - 16\left[ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 20} \right] \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 16} \right]^2} - 16{\left( {m + 1} \right)^2} + 320 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^4} - 32.{\left( {m + 1} \right)^2} + 256 - 16{\left( {m + 1} \right)^2} + 320 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^4} - 48.{\left( {m + 1} \right)^2} + 576 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^4} - 2.24.{\left( {m + 1} \right)^2} + {24^2} \ge 0\)

Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{{{m^2} + 2m - 15}}{4} =  - \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 16}}{4} =  - \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} + 4\\{x_1}{x_2} = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 20}}{4} = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} - 5\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} =  - 1\,\,\,\left( * \right)\)

Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + {x_2} + 2019 = 0 \Leftrightarrow {x_2} =  - x_1^2 - 2019\)

Thay vào (*) ta có:

\({x_1} - x_1^2 - 2019 + {x_1}\left( { - x_1^2 - 2019} \right) =  - 1\)

\( \Leftrightarrow {x_1} - x_1^2 - 2019 - x_1^3 - 2019{x_1} =  - 1\)

\( \Leftrightarrow x_1^3 + x_1^2 + 2018{x_1} + 2018 = 0\)

\( \Leftrightarrow x_1^2\left( {{x_1} + 1} \right) + 2018\left( {{x_1} + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {x_1^2 + 2018} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {x_1} + 1 = 0\,\,\,\left( {do\,\,\,x_1^2 + 2018 > 0} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x_1} =  - 1\)

\( \Rightarrow {x_2} =  - {1^2} - 2019 =  - 2020\).

Mặt khác \({x_1}{x_2} = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} - 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2020 = \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} - 5 \Leftrightarrow 2025.4 = {\left( {m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 8100 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 90\\m + 1 =  - 90\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 89\\m =  - 91\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ {89; - 91} \right\}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.