Cho đường tròn \(\left( O \right)\) tâm \(O\), đường kính \(AB\) và \(C\) là điểm nằm trên đoạn thẳng \[OB\] (với \(C \ne B)\). Kẻ dây \[DE\] của đường tròn \[\left( O \right)\] vuông góc với \[AC\] tại trung điểm \[H\] của \(AC.\) Gọi \(K\) là giao điểm thứ hai của \(BD\) với đường tròn đường kính \[BC\].

a) Chứng minh tứ giác \(DHCK\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(CE\) song song với \(AD\) và ba điểm \(E,C,K\) thẳng hàng.

c) Đường thẳng qua \(K\) vuông góc với \(DE\) cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại hai điểm \(M\) và \(N\) (với \(M\) thuộc cung nhỏ ). Chứng minh \(E{M^2} + D{N^2} = A{B^2}\).

Ta có: \(\widehat {DHB} = 90^\circ \) (\(DE \bot AB\) tại \(H\)) \( \Rightarrow \widehat {DHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {CKB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC) \( \Rightarrow \widehat {CKD} = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(DHCK\)có \(\widehat {DHC} + \widehat {CKD} = 180^\circ \), mà hai góc ở vị trí đối diện nên tứ giác \(DHCK\)nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \)) (đpcm)

Có \(DE \bot AB \Rightarrow HD = HE\)(đường kính dây cung)

Lại có: \(HA = HC\) nên tứ giác \(DAEC\) là hình bình hành

\( \Rightarrow CE\,{\rm{//}}\,DA\) (điều phải chứng minh).

Lại có \(\widehat {CKB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC) \( \Rightarrow CK \bot KB(1)\)

Mà \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) \( \Rightarrow AD \bot DB(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(CK\,{\rm{//}}\,AD\) (từ vuông góc đến song song)

Mà \(CE\,{\rm{//}}\,AD(cmt)\) nên theo tiên đề Euclid suy ra ba điểm \(E,C,K\) thẳng hàng.

Kẻ đường kính \(MP\) của đường tròn \(\left( O \right)\).

Nối \(N\)với \(P\) cắt \[AB\] tại \(I\). Nối \(E\) với \(P\), \(E\) với \(B\).

Có \(\widehat {MNP} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow MN \bot NP\)

Mà \(MN \bot DE\) nên \(NP\,{\rm{//}}\,DE \Rightarrow DNPE\) là hình thang

Lại có \(DE \bot AB,NP//DE \Rightarrow NP \bot AB\)

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \[NP\] (tính chất đường kính dây cung)

\( \Rightarrow B\) là điểm chính giữa cung \(NP.\)

Dễ thấy tam giác \(BDE\) cân tại \(B\) (đường cao \(BH\) cũng là đường trung tuyến) 

\( \Rightarrow DN = EP\) (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Do đó: \(E{M^2} + D{N^2} = E{M^2} + E{P^2} = M{P^2}\) (Do tam giác \[MEP\] vuông tại \(E\))

Mà \(MP = AB\) (cùng là đường trình của đường tròn \(\left( O \right)\)).

Vậy \(E{M^2} + E{P^2} = A{B^2}\) (điều phải chứng minh).