Cho phương trình \[{x^2} - mx + m - 2 = 0\] (1) (\(x\) là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị \(m\).

b) Định \(m\) để hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) của (1) thỏa mãn \[\frac{{{x_1}^2 - 2}}{{{x_1} - 1}}.\frac{{{x_2}^2 - 2}}{{{x_2} - 1}} = 4\].

\({x^4} - 5{x^2} - 6 = 0\)

Đặt \(u = {x^2}\,\,\left( {u \ge 0} \right)\), phương trình đã cho trở thành:

\[\begin{array}{l}{u^2} - 5u - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u =  - 1\,\,\,\,(l)\\u = 6\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\]

Với \[u - 6 \Rightarrow {x^2} = 6 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 6 \].

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(x =  \pm \sqrt 6 \).

+) \[A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x  - 10}}{{x - 4}}\,\,\left( {x \ge 0,x \ne 4} \right)\]

Với điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\), ta có:

\[A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x  - 10}}{{x - 4}}\,\,\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right) + \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) + \sqrt x  - 10}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 2\sqrt x  + \left( {x - 3\sqrt x  + 2} \right) + \sqrt x  - 10}}{{x - 4}} = \frac{{2x - 8}}{{x - 4}} = 2\].

+) \[B = \left( {13 - 4\sqrt 3 } \right)\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right) - 8\sqrt {20 + 2\sqrt {43 + 24\sqrt 3 } } \]

\[ = {\left( {2\sqrt 3  - 1} \right)^2}.{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} - 8\sqrt {20 + 2\sqrt {{{\left( {4 + 3\sqrt 3 } \right)}^2}} } \]

\[ = {\left( {3\sqrt 3  + 4} \right)^2} - 8\sqrt {20 + 2\left( {4 + 3\sqrt 3 } \right)} \]

\[ = {\left( {3\sqrt 3  + 4} \right)^2} - 8\sqrt {{{\left( {3\sqrt 3  + 1} \right)}^2}} \]

\[ = 43 + 24\sqrt 3  - 8\left( {3\sqrt 3  + 1} \right)\]

\[ = 43 + 24\sqrt 3  - 24\sqrt 3  - 8\]

\[ = 35\]