Cho tam giác \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\) cắt các cạnh \(AC,AB\) lần lượt tại \(E,\,F\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\); \(D\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\).
a) Chứng minh: \(AD \bot BC\) và \(AH.AD = AE.AC\).
b) Chứng minh: \(EFDO\) là tứ giác nội tiếp.
c) Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(L\) sao cho \(DL = DF\). Tính số đo góc \(BLC\).
d) Gọi \(R,S\) lần lượt là hình chiếu của \(B,\,\,C\) lên \(EF\). Chứng minh \(DE + DF = RS\).
Cho tam giác \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\) cắt các cạnh \(AC,AB\) lần lượt tại \(E,\,F\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\); \(D\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\).
a) Chứng minh: \(AD \bot BC\) và \(AH.AD = AE.AC\).
b) Chứng minh: \(EFDO\) là tứ giác nội tiếp.
c) Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(L\) sao cho \(DL = DF\). Tính số đo góc \(BLC\).
d) Gọi \(R,S\) lần lượt là hình chiếu của \(B,\,\,C\) lên \(EF\). Chứng minh \(DE + DF = RS\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Do \(FC \bot AB,\,\,BE \bot AC\), suy ra \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Do đó, \(AH \bot BC\).
Khi đó, tứ giác \(HDCE\) nội tiếp.
Xét hai tam giác đồng dạng \(EAH\) và \(DAC\) (do 2 tam giác vuông có góc \(A\) chung)
\[ \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AD}} \Rightarrow AH.AD = AE.AC\](đpcm).
b) Do \(AD\) là phân giác của góc \(FDE\) nên \(\widehat {FDE} = 2\widehat {FBE} = 2\widehat {FCE} = \widehat {FOE}\)
Vậy tứ giác \(EFDO\) nội tiếp (cùng chắn cung \(EF\)).
c) Vì \(AD\) là phân giác của góc \(FDE\) Þ \(DB\) là phân giác của góc \(FDL\).
Þ \(F,\,L\) đối xứng qua \(BC\) Þ \(L\) thuộc đường tròn tâm \(O\).
Vậy \(\widehat {BLC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm \(O\) Þ \(\widehat {BLC} = 90^\circ \).
d) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(CS\) với đường tròn tâm \(O\).
Vì 3 cung \(BF,\,BL\) và \(EQ\) bằng nhau (do kết quả trên).
Suy ra tứ giác \(B,\,E,\,Q,\,L\) là hình thang cân nên hai đường chéo \(BQ\) và \(LE\) bằng nhau.
Mà \(BQ = RS,\,LE = DL + DE = DF + DE\)
Suy ra \(DE + DF = RS\) (đpcm).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị \(m\).
Ta có: \[\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 2} \right) = {m^2} - 4m + 8 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0\,\,\,\forall m\]
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\).
b) Định \(m\) để hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) của (1) thỏa mãn \[\frac{{{x_1}^2 - 2}}{{{x_1} - 1}}.\frac{{{x_2}^2 - 2}}{{{x_2} - 1}} = 4\].
Vì \[a + b + c = 1 - m + m - 2 = - 1 \ne 0\,\,\,\forall m\] nên phương trình (1) có 2 nghiệm \[{x_1};{x_2} \ne 1,\forall m\]
Phương trình (1) tương đương với \[{x^2} - 2 = mx - m\].
Ta có: \[\frac{{{x_1}^2 - 2}}{{{x_1} - 1}}.\frac{{{x_2}^2 - 2}}{{{x_2} - 1}} = 4\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{m{x_1} - m}}{{{x_1} - 1}}.\frac{{m{x_2} - m}}{{{x_2} - 1}} = 4\]
\[ \Leftrightarrow m.m = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2\].
Vậy \(m = \pm 2\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Đồ thị:
Lưu ý: \(\left( P \right)\) đi qua các điểm (0; 0), (1; 1), (2; 4), (– 1; 1), (– 2; 4).
\(\left( D \right)\) đi qua (-1; 1), (2; 4)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( D \right)\) là
\[\begin{array}{l}{x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\]
Với \(x = - 1\) thì \(y = 1\), với \(x = 2\) thì \(y = 4\).
Vậy toạ độ các giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( D \right)\) là (-1; 1), (2; 4).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập