Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 100 m. Tính chiều dài và chiều rộng của miếng đất biết rằng 5 lần chiều rộng hơn 2 lần chiều dài là 40 m.

a) Ta có: \[\widehat {ADB} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chẵn nửa đường tròn) \[ \Rightarrow \widehat {ADC} = 90^\circ \]

\[ \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {AHC}\]\[ \Rightarrow ACDH\] nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {CHD} = \widehat {CAD}\]

Mà \[\widehat {CAD} = \widehat {ABC}\] nên \[\widehat {CHD} = \widehat {ABC}\].

b) Ta có: \[OH.OC = O{A^2} = O{B^2} \Rightarrow \frac{{OH}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OC}}\]

.

\[ \Rightarrow \widehat {OHB} = \widehat {OBC} \Rightarrow \widehat {OHB} = \widehat {CHD}\]

\[ \Rightarrow \widehat {BHM} = \widehat {DHM}\] hay \[HM\] là tia phân giác của góc \[BHD\].

c) Tam giác \[DHB\] có \[HM\] là phân giác trong \[ \Rightarrow \frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{HD}}{{HB}}\]

Tam giác \[DHB\] có \[HC\] là phân giác ngoài \[ \Rightarrow \frac{{CD}}{{CB}} = \frac{{HD}}{{HB}}\]

Vậy \[\frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{CD}}{{CB}} \Rightarrow MD.BC = MB.CD\].

Cách 1. Từ trên suy ra \[MD.\left( {MB + MC} \right) = MB.\left( {MC - MD} \right)\]

\[ \Rightarrow 2MB.MD = MC\left( {MB - MD} \right)\]

\[ \Rightarrow 2MB.MD = 2MK.MC\]

\[ \Rightarrow MB.MD = MK.MC\]

Cách 2. Gọi \[L\] là giao điểm của \[AE\] với đường tròn \[\left( O \right)\].

5 điểm \[A,\,O,\,K,\,L,\,C\] cùng thuộc đường tròn.

\[ \Rightarrow MK.MC = MA.ML\]

Mà \[MA.ML = MB.MD\]\[ \Rightarrow MB.MD = MK.MC\].

d) Gọi \[N\] là giao điểm của \[CO\,\]với đường tròn \[\left( O \right)\].

\[ \Rightarrow \widehat {IJN} = 90^\circ \,\,\left( 1 \right)\]

Mặt khác: \[MI.MJ = MD.MB = MK.MC\]

\[ \Rightarrow \widehat {MCI} = \widehat {MJK} = \widehat {MEO}\]

\[ \Rightarrow MEJK\] nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {EJM} = 90^\circ \,\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow E,\,\,J,\,\,N\] thẳng hàng.

Suy ra hai đường thẳng \[OC\] và \[EJ\] cắt nhau tại một điểm nằm trên \[\,\left( O \right)\].

a) Xét tam giác \[ABC\] có đường cao \[CH\], ta có:

\[AH = \frac{{CH}}{{\tan 6^\circ }};\,\,BH = \frac{{CH}}{{\tan 4^\circ }}\]

Mà \[AH + BH = AB = 762 \Rightarrow \frac{{CH}}{{\tan 6^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 4^\circ }} = 762\]

Suy ra \[CH = 762:\left( {\frac{1}{{\tan 6^\circ }} + \frac{1}{{\tan 4^\circ }}} \right) \approx 32\].

Vậy \[h = 32\] m.

b) Xét tam giác \[ABC\] có đường cao \[CH\], ta có:

\[\sin 6^\circ  = \frac{{CH}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{CH}}{{\sin 6^\circ }} \approx \frac{{32}}{{\sin 6^\circ }} \approx 306\];

\[\sin 4^\circ  = \frac{{CH}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{CH}}{{\sin 4^\circ }} \approx \frac{{32}}{{\sin 4^\circ }} \approx 459\].

Thời gian di chuyển từ \[A\] đến \[B\]:

- Thời gian đi từ \[A\] đến \[C\]: \[{t_{AC}} = \frac{{AC}}{4} \approx \frac{{\frac{{306}}{{1000}}}}{4} = 0,0765\] (giờ)

- Thời gian di chuyển từ \[C\] đến \[B\]: \[{t_{CB}} = \frac{{CB}}{{19}} \approx \frac{{\frac{{459}}{{1000}}}}{{19}} \approx 0,024\](giờ)

- Thời gian di chuyển từ \[A\] đến \[B\]: \[{t_{AB}} = 0,0765 + 0,024 = 0,1005\](giờ) \[ \approx 6\] (phút).  

Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ 6 phút.