Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AB\] cắt các đoạn \[BC\] và \[OC\] lần lượt tại \[D\] và \[I\]. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] lên \[OC\]; \[AH\] cắt \[BC\] tại \[M\].
a) Chứng minh: Tứ giác \[ACDH\] nội tiếp và \[\widehat {CHD} = \widehat {ABC}\].
b) Chứng minh: Hai tam giác \[OHB\] và \[OBC\] đồng dạng với nhau và \[HM\] là tia phân giác của góc \[BHD\].
c) Gọi \[K\] là trung điểm \[BD\]. Chứng minh: \[MD.BC = MB.CD\] và \[MB.MD = MK.MC\].
d) Gọi \[E\] là giao điểm \[AM\] và \[OK\]; \[J\] là giao điểm \[IM\] và \[\left( O \right)\] (\[J\] khác \[I\]) . Chứng minh hai đường thẳng \[OC\] và \[EJ\] cắt nhau tại một điểm nằm trên \[\left( O \right)\].
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AB\] cắt các đoạn \[BC\] và \[OC\] lần lượt tại \[D\] và \[I\]. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] lên \[OC\]; \[AH\] cắt \[BC\] tại \[M\].
a) Chứng minh: Tứ giác \[ACDH\] nội tiếp và \[\widehat {CHD} = \widehat {ABC}\].
b) Chứng minh: Hai tam giác \[OHB\] và \[OBC\] đồng dạng với nhau và \[HM\] là tia phân giác của góc \[BHD\].
c) Gọi \[K\] là trung điểm \[BD\]. Chứng minh: \[MD.BC = MB.CD\] và \[MB.MD = MK.MC\].
d) Gọi \[E\] là giao điểm \[AM\] và \[OK\]; \[J\] là giao điểm \[IM\] và \[\left( O \right)\] (\[J\] khác \[I\]) . Chứng minh hai đường thẳng \[OC\] và \[EJ\] cắt nhau tại một điểm nằm trên \[\left( O \right)\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: \[\widehat {ADB} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chẵn nửa đường tròn) \[ \Rightarrow \widehat {ADC} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {AHC}\]\[ \Rightarrow ACDH\] nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {CHD} = \widehat {CAD}\]
Mà \[\widehat {CAD} = \widehat {ABC}\] nên \[\widehat {CHD} = \widehat {ABC}\].
b) Ta có: \[OH.OC = O{A^2} = O{B^2} \Rightarrow \frac{{OH}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OC}}\]
.
\[ \Rightarrow \widehat {OHB} = \widehat {OBC} \Rightarrow \widehat {OHB} = \widehat {CHD}\]
\[ \Rightarrow \widehat {BHM} = \widehat {DHM}\] hay \[HM\] là tia phân giác của góc \[BHD\].
c) Tam giác \[DHB\] có \[HM\] là phân giác trong \[ \Rightarrow \frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{HD}}{{HB}}\]
Tam giác \[DHB\] có \[HC\] là phân giác ngoài \[ \Rightarrow \frac{{CD}}{{CB}} = \frac{{HD}}{{HB}}\]
Vậy \[\frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{CD}}{{CB}} \Rightarrow MD.BC = MB.CD\].
Cách 1. Từ trên suy ra \[MD.\left( {MB + MC} \right) = MB.\left( {MC - MD} \right)\]
\[ \Rightarrow 2MB.MD = MC\left( {MB - MD} \right)\]
\[ \Rightarrow 2MB.MD = 2MK.MC\]
\[ \Rightarrow MB.MD = MK.MC\]
Cách 2. Gọi \[L\] là giao điểm của \[AE\] với đường tròn \[\left( O \right)\].
5 điểm \[A,\,O,\,K,\,L,\,C\] cùng thuộc đường tròn.
\[ \Rightarrow MK.MC = MA.ML\]
Mà \[MA.ML = MB.MD\]\[ \Rightarrow MB.MD = MK.MC\].
d) Gọi \[N\] là giao điểm của \[CO\,\]với đường tròn \[\left( O \right)\].
\[ \Rightarrow \widehat {IJN} = 90^\circ \,\,\left( 1 \right)\]
Mặt khác: \[MI.MJ = MD.MB = MK.MC\]
\[ \Rightarrow \widehat {MCI} = \widehat {MJK} = \widehat {MEO}\]
\[ \Rightarrow MEJK\] nội tiếp.
\[ \Rightarrow \widehat {EJM} = 90^\circ \,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow E,\,\,J,\,\,N\] thẳng hàng.
Suy ra hai đường thẳng \[OC\] và \[EJ\] cắt nhau tại một điểm nằm trên \[\,\left( O \right)\].
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi \[x,\,\,y\] (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của miếng đất.
Nửa chu vi miếng đất là 100 : 2 = 50 (m).
Khi đó: \[x + y = 50\].
Và \[5y = 2x + 40 \Leftrightarrow 2x - 5y = - 40\]. Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 50\\2x - 5y = - 40\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x - 2y = - 100\\2x - 5y = - 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 50\\ - 7y = - 140\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 50 - y\\y = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 30\\y = 20\end{array} \right.\].
Vậy chiều dài của miếng đất là 30 (m) và chiều rộng là 20 (m).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Xét tam giác \[ABC\] có đường cao \[CH\], ta có:
\[AH = \frac{{CH}}{{\tan 6^\circ }};\,\,BH = \frac{{CH}}{{\tan 4^\circ }}\]
Mà \[AH + BH = AB = 762 \Rightarrow \frac{{CH}}{{\tan 6^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 4^\circ }} = 762\]
Suy ra \[CH = 762:\left( {\frac{1}{{\tan 6^\circ }} + \frac{1}{{\tan 4^\circ }}} \right) \approx 32\].
Vậy \[h = 32\] m.
b) Xét tam giác \[ABC\] có đường cao \[CH\], ta có:
\[\sin 6^\circ = \frac{{CH}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{CH}}{{\sin 6^\circ }} \approx \frac{{32}}{{\sin 6^\circ }} \approx 306\];
\[\sin 4^\circ = \frac{{CH}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{CH}}{{\sin 4^\circ }} \approx \frac{{32}}{{\sin 4^\circ }} \approx 459\].
Thời gian di chuyển từ \[A\] đến \[B\]:
- Thời gian đi từ \[A\] đến \[C\]: \[{t_{AC}} = \frac{{AC}}{4} \approx \frac{{\frac{{306}}{{1000}}}}{4} = 0,0765\] (giờ)
- Thời gian di chuyển từ \[C\] đến \[B\]: \[{t_{CB}} = \frac{{CB}}{{19}} \approx \frac{{\frac{{459}}{{1000}}}}{{19}} \approx 0,024\](giờ)
- Thời gian di chuyển từ \[A\] đến \[B\]: \[{t_{AB}} = 0,0765 + 0,024 = 0,1005\](giờ) \[ \approx 6\] (phút).
Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ 6 phút.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập