Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AB\] cắt các đoạn \[BC\] và \[OC\] lần lượt tại \[D\] và \[I\]. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] lên \[OC\]; \[AH\] cắt \[BC\] tại \[M\].

a) Chứng minh: Tứ giác \[ACDH\] nội tiếp và \[\widehat {CHD} = \widehat {ABC}\].

b) Chứng minh: Hai tam giác \[OHB\] và \[OBC\] đồng dạng với nhau và \[HM\] là tia phân giác của góc \[BHD\].

c) Gọi \[K\] là trung điểm \[BD\]. Chứng minh: \[MD.BC = MB.CD\] và \[MB.MD = MK.MC\].

d) Gọi \[E\] là giao điểm \[AM\] và \[OK\]; \[J\] là giao điểm \[IM\] và \[\left( O \right)\] (\[J\] khác \[I\]) . Chứng minh hai đường thẳng \[OC\] và \[EJ\] cắt nhau tại một điểm nằm trên \[\left( O \right)\].

Gọi \[x,\,\,y\] (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của miếng đất.

Nửa chu vi miếng đất là 100 : 2 = 50 (m).

Khi đó: \[x + y = 50\].

Và \[5y = 2x + 40 \Leftrightarrow 2x - 5y =  - 40\]. Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 50\\2x - 5y =  - 40\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x - 2y =  - 100\\2x - 5y =  - 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 50\\ - 7y =  - 140\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 50 - y\\y = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 30\\y = 20\end{array} \right.\].

Vậy chiều dài của miếng đất là 30 (m) và chiều rộng là 20 (m).

a) Xét tam giác \[ABC\] có đường cao \[CH\], ta có:

\[AH = \frac{{CH}}{{\tan 6^\circ }};\,\,BH = \frac{{CH}}{{\tan 4^\circ }}\]

Mà \[AH + BH = AB = 762 \Rightarrow \frac{{CH}}{{\tan 6^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 4^\circ }} = 762\]

Suy ra \[CH = 762:\left( {\frac{1}{{\tan 6^\circ }} + \frac{1}{{\tan 4^\circ }}} \right) \approx 32\].

Vậy \[h = 32\] m.

b) Xét tam giác \[ABC\] có đường cao \[CH\], ta có:

\[\sin 6^\circ  = \frac{{CH}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{CH}}{{\sin 6^\circ }} \approx \frac{{32}}{{\sin 6^\circ }} \approx 306\];

\[\sin 4^\circ  = \frac{{CH}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{CH}}{{\sin 4^\circ }} \approx \frac{{32}}{{\sin 4^\circ }} \approx 459\].

Thời gian di chuyển từ \[A\] đến \[B\]:

- Thời gian đi từ \[A\] đến \[C\]: \[{t_{AC}} = \frac{{AC}}{4} \approx \frac{{\frac{{306}}{{1000}}}}{4} = 0,0765\] (giờ)

- Thời gian di chuyển từ \[C\] đến \[B\]: \[{t_{CB}} = \frac{{CB}}{{19}} \approx \frac{{\frac{{459}}{{1000}}}}{{19}} \approx 0,024\](giờ)

- Thời gian di chuyển từ \[A\] đến \[B\]: \[{t_{AB}} = 0,0765 + 0,024 = 0,1005\](giờ) \[ \approx 6\] (phút).  

Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ 6 phút.