Cho tam giác \(ABC\)\(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Hai đường cao \(BD\) và \(CE\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\). Đường thẳng \(AH\) cắt \(BC\) và \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(F\) và \(K\) \(\left( {K \ne A} \right).\)Gọi \(L\) là hình chiếu của \(D\) lên \(AB\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(BEDC\) nội tiếp và \(B{D^2} = BL.BA\).

b) Gọi \(J\) là giao điểm của \(KD\) và \(\left( O \right)\), \(\left( {J \ne K} \right).\) Chứng minh \(\widehat {BJL} = \widehat {BDE}\).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BJ\) và \(ED.\) Chứng minh tứ giác \(ALIJ\)nội tiếp và \(I\) là trung điểm của \(ED.\)

Cuối năm học, các bạn lớp 9A chia làm hai nhóm, mỗi nhóm chọn một khu vườn sinh thái ở Bắc bán cầu để tham quan. Khi mở hệ thống định vị GPS, họ phát hiện một sự trùng hợp khá thú vị là hai vị trí mà hai nhóm chọn đều nằm cùng trên một kinh tuyến và lần lượt ở các vĩ tuyến 47° và 72°.

a) Tính khoảng cách (làm tròn đến hàng trăm) giữa hai vị trí đó, biết rằng kinh tuyến là một cung tròn nối liền hai cực của trái đất và có độ dài khoảng 20 000 km.

b) Tính (làm tròn đến hàng trăm) độ dài bán kính và đường xích đạo của trái đất. Từ kết quả của bán kính (đã làm tròn), hãy tính thể tích của trái đất, biết rằng trái đất có dạng hình cầu và thể tích của hình cầu được tính theo công thức \(V = \frac{4}{3}.3,14.{R^3}\) với \(R\) là bán kính hình cầu.

Một nhóm gồm 31 bạn học sinh tổ chức một chuyến đi du lịch (chi phí chuyến đi được chia đều cho mỗi bạn tham gia). Sau khi đã hợp đồng xong, vào giờ chót có 3 bạn bận việc đột xuất không đi được nên họ không đóng tiền. Cả nhóm thống nhất mỗi bạn còn lại sẽ đóng thêm 18 000 đồng so với dự kiến ban đầu để bù lại cho 3 bạn không tham gia. Hỏi tổng chi phí chuyến đi là bao nhiêu?

Cho phương trình: \(2{x^2} - 3x - 1 = 0\) có hai nghiệm là \({x_1},{x_2}\).

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: \(A = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 1}}\).

Bạn Dũng trung bình tiêu thụ \(15\)ca-lo cho mỗi phút bơi và 10 ca-lo cho mỗi phút chạy bộ. Hôm nay, Dũng mất 1,5 giờ cho cả hai hoạt động trên và tiêu thụ hết 1 200 ca-lo. Hỏi hôm nay, bạn Dũng mất bao nhiêu thời gian cho mỗi hoạt động?

Cho parabol \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 4\).

a) Vẽ \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.