Cho phương trình: \[2{x^2} - 5x - 3 = 0\] có hai nghiệm là \[{x_1},\,{x_2}\].

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: \[A = \left( {{x_1} + 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} + 2{x_1}} \right)\].

Cho đường tròn tâm \[O\], bán kính \[R\] và điểm \[A\] nằm ngoài đường tròn sao cho \[OA > 2R\]. Từ \[A\] kẻ 2 tiếp tuyến \[AD;\,\,AE\] đến đường tròn \[\left( O \right)\,\] (\[D;\,\,E\] là 2 tiếp điểm). Lấy điểm \[M\] nằm trên cung nhỏ  sao cho \[MD > ME\]. Tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[M\] cắt \[AD;\,\,AE\] lần lượt tại \[I;\,\,J\]. Đường thẳng \[DE\] cắt \[OJ\] tại \[F\].

a) Chứng minh: \[OJ\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[ME\] và \[\widehat {OMF} = \widehat {OEF}\].

b) Chứng minh: tứ giác \[ODIM\] nội tiếp và 5 điểm \[I;\,D;\,O;\,F;\,M\] cùng nằm trên một đường tròn.

c) Chứng minh: \[\widehat {JOM} = \widehat {IOA}\] và \[\sin \widehat {IOA} = \frac{{MF}}{{IO}}\].

Theo quy định của cửa hàng xe máy, đề hoàn thành chỉ tiêu trong một tháng, mỗi nhân viên phải bán được trung bình một chiếc xe máy trong một ngày. Nhân viên nào hoàn thành chỉ tiêu trong một tháng thì nhận lương cơ bản là 8 000 000 đồng.

Nếu trong một tháng nhân viên nào vượt chỉ tiêu thì được thưởng thêm 8% tiền lời của số xe được bán vượt chỉ tiêu đó. Trong tháng 5 (có 31 ngày), anh Thành nhận được số tiền là 9 800 000 đồng (bao gồm cả lương cơ bản và tiền thưởng thêm tháng đó). Hỏi anh Thành đã bán được bao nhiêu chiếc xe máy trong tháng 5, biết rằng mỗi xe máy bán ra thì cửa hàng thu lời được 2 500 000 đồng.

Sau buổi sinh hoạt ngoại khóa, nhóm bạn của Thư rủ nhau đi ăn kem ở một quán gần trường. Do quán mới khai trương nên có khuyến mãi, bắt đầu từ ly thứ 5 giá mỗi ly kem giảm 1 500 đồng so với giá ban đầu. Nhóm của Thư mua 9 ly kem với số tiền là 154 500 đồng. Hỏi giá của một ly kem ban đầu?

Cước điện thoại \[y\] (nghìn đồng) là số tiền mà người sử dụng điện thoại cần trả hàng tháng, nó phục thuộc vào lượng thời gian gọi \[x\] (phút) của người đó trong tháng. Mỗi liên hệ giữa hai đại lượng này là một là số bậc nhất \[y = ax + b\]. Hãy tìm \[a,\,b\] biết rằng nhà bạn Nam trong tháng 5 đã gọi 100 phút với số tiền là 40 nghìn đồng và trong tháng 6 gọi 40 phút với số tiền là 28 nghìn đồng.

Quy tắc sau đây cho ta biết CAN, CHI của năm \[X\] nào đó.

Để xác định CAN, ta tìm số dư \[r\] trong phép chia \[X\] cho 10 và tra vào bảng 1.

Để xác định CHI, ta tìm số dư \[s\] trong phép chia \[X\] cho 12 và tra vào bảng 2.

Ví dụ: năm 2020 có CAN là Canh, CHI là Tí.

Bảng 1

Bảng 2

a) Em hãy sữ dụng quy tắc trên để xác định CAN, CHI của năm 2005?

b) Bạn Hằng nhớ rằng Nguyễn Huệ lên ngôi hoàng đế, hiệu là Quang Trung vào năm Mậu Thân nhưng không nhớ rõ đó là năm bao nhiêu mà chỉ nhớ là sự kiện trên xảy ra vào cuối thế kỉ 18. Em hãy giúp Hằng xác định chính xác năm đó là năm bao nhiêu?

Anh Minh vừa mới xây một cái hồ trữ nước cạnh nhà có hình dạng hộp chữ nhật kích thước 2 m × 2 m × 1 m. Hiện hồ chưa có nước nên anh Minh phải ra sông lấy nước. Mỗi lần ra sông anh gánh được 1 đôi nước đầy gồm 2 thùng hình trụ bằng nhau có bán kính đáy 0,2 m, chiều cao 0,4 m.

a) Tính lượng nước (m3) anh Minh đổ vào hồ sau mỗi lần gánh (ghi kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân). Biết trong quá trình gánh nước về thì lượng nước bị hao hụt khoảng 10% và công thức tính thể tích hình trụ là \[V = \pi {R^2}h\].

b) Hỏi anh Minh phải gánh ít nhất bao nhiêu lần để đầy hồ? Bỏ qua thể tích thành hồ.

Cho parabol \(\left( P \right)\): \[y = \frac{1}{4}{x^2}\] và đường thẳng \[\left( d \right):y =  - \frac{1}{2}x + 2\].

a) Vẽ \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] bằng phép tính.