Biết rằng tổng các nghiệm của phương trình \(\sin 2x - \cos 2x - 5\sin x - \cos x + 3 = 0\) trên đoạn \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) là \(\frac{{a\pi }}{b}\) với \(a \in \mathbb{Z},b \in {\mathbb{N}^*},\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính a – b.

\(\sin 2x - \cos 2x - 5\sin x - \cos x + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \cos x + 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x - 1} \right) + \left( {\sin x - 2} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + \sin x - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos x + \sin x - 2 = 0\end{array} \right.\).

TH1: \(\sin x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) nên \(x = \frac{\pi }{6};x = - \frac{{11\pi }}{6}\); \(x = \frac{{5\pi }}{6};x = - \frac{{7\pi }}{6}\).

TH2: \(\cos x + \sin x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \) (vô nghiệm).

Tổng các nghiệm là \(\frac{\pi }{6} + \left( { - \frac{{11\pi }}{6}} \right) + \frac{{5\pi }}{6} + \left( { - \frac{{7\pi }}{6}} \right) = - 2\pi \).

Suy ra \(a = - 2;b = 1\). Do đó \(a - b = - 3\).

Trả lời: −3.