Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f''\left( x \right) > 0\) có bao nhiêu giá trị nguyên dương \(x \le 2024\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\);

\(f''\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2} - 2\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\)\( = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\).

Có \(f''\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} > 0 \Leftrightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\).

Mà \(x \in \mathbb{Z},x \le 2024\) nên \(x \in \left\{ {0;1;2;...;2024} \right\}\).

Vậy có 2025 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu của đề.

Trả lời: 2025.