Từ một hộp chứa \(10\) quả cầu màu đỏ và \(5\) quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời \(3\) quả cầu. Xác suất để lấy được \(3\) quả cầu màu xanh bằng

a) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \) trong đó \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6};{a_7} \in S\)

Chọn \({a_1}({a_1} \ne 0)\): có \(6\) cách chọn

Ta có: \({a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6};{a_7}\) có số cách chọn là số hoán vị của 6 phần tử: \(6!\)

Vậy có \(6.6!\) số

b) Sai: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \) trong đó \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6};{a_7} \in S\)

TH1: Chọn \({a_1};{a_2};{a_3} \in \left\{ {1;2;3} \right\}\),\(({a_1} \ne 0)\)có \(3!\) cách chọn

Chọn \({a_4};{a_5};{a_6};{a_7}\) có số cách chọn là số hoán vị của 4 phần tử còn lại: \(4!\) cách chọn

Do vậy ta được \(3!\).\(4!\)=144 số

TH2: Các số \(1;2;3\) nằm ở ba trong 4 vị trí \({a_4};{a_5};{a_6};{a_7}\) có: \(4.3.2 = 24\) cách sắp xếp

Chọn \({a_1} \in \left\{ {4;5;6} \right\}\) có: 3 cách chọn

Còn 3 vị trí còn lại có số cách chọn là số hoán vị của 3 phần tử còn lại từ tập \(S\): \(3!\) cách chọn

Do vậy ta có: \(24.3.3! = 432\) số

Tổng cộng có 576 số

c) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) trong đó \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6} \in S\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Ta có: \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) có số cách chọn là số hoán vị của 6 phần tử: \(6!\)

Do vậy ta có \(6!\) số

d) Sai: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \) trong đó \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6};{a_7} \in S\)

TH1: Chọn \({a_7} = 0\): có 1 cách chọn

Chọn \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) có số cách chọn là số hoán vị của 6 phần tử: \(6!\)

Do vậy ta có \(6!\) số

TH2: Chọn \({a_7} \in \left\{ {2,4,6} \right\}\): có 3 cách chọn

Chọn \({a_1}({a_1} \ne 0;\,{a_1} \ne {a_7})\): có 5 cách chọn

Chọn \({a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) có số cách chọn là số hoán vị của 5 phần tử: \(5!\)

Do vậy ta có: \(3.5.5!\) số

Vậy tổng có: \(6! + 3.5.5!\)

a) Đúng: Không gian mẫu là tập tất cả các tập con gồm 5 viên bi từ 12 viên bi. Vậy số phần tử của không gian mẫu là \[n\left( \Omega  \right) = C_{12}^5 = 792\].

b) Đúng: Chọn 5 bi xanh từ 7 bi xanh, có \[C_7^3 = 21\] (cách chọn) \[ \Rightarrow n\left( A \right) = 21\].

Vậy xác suất của biến cố \[A\] là \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{21}}{{792}} = \frac{7}{{264}}\].

c) Sai: Mỗi phần tử của \[B\] được hình thành từ 2 bước:

Bước 1: Chọn 3 viên bi xanh từ 7 viên bi xanh, có \[C_7^3 = 35\] (cách chọn).

Bước 2: Chọn 2 viên bi đỏ từ 5 viên bi đỏ, có \[C_5^2 = 10\] (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, tập \[B\] có \[35.10 = 350\] (phần tử). Vậy \[n\left( B \right) = 350 \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{350}}{{792}} = \frac{{175}}{{396}}\].

d) Đúng: Trong 5 viên bi lấy được có ít nhất 3 bi đỏ, có 3 cách:

Cách 1: Trong \[5\] viên bi được chọn có 2 bi xanh và 3 bi đỏ: có \[\mathop C\nolimits_7^2 .\mathop C\nolimits_5^3  = 210\] (cách chọn)

Cách 2: Trong \[5\] viên bi được chọn có 1 bi xanh và 4 bi đỏ: có \[C_7^1.C_5^4 = 35\] (cách chọn).

Cách 3: Trong \[5\] viên bi được chọn có 0 bi xanh và 5 bi đỏ: có \[C_7^0.C_5^5 = 5\] (cách chọn).

Theo quy tắc cộng, tập \[C\] có \[210 + 35 + 5 = 250\] (phần tử).

Vậy \[n\left( C \right) = 250 \Rightarrow P\left( C \right) = \frac{{250}}{{792}} = \frac{{125}}{{396}}\].