Trong một phòng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi hai dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm hai người mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu người ngồi?

a) \({x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - m - 7 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m - 7} \right) = {m^2} + 5m + 11 = {\left( {m + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} > 0,\forall m \Rightarrow \Delta ' > 0\) với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) \({x^2} - 4{m^2}x - 4m - 2 = 0\)

Ta có \(\Delta ' = 4{m^4} + 4m + 2 = 2(2{m^4} + 2m + 1)\)

mà \(2{m^4} + 2m + 1 = 2\left( {{m^4} - {m^2} + \frac{1}{4}} \right) + 2\left( {{m^2} + m + \frac{1}{4}} \right) = 2{\left( {{m^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\)

Dấu “=” xảy ra khi \({m^2} - \frac{1}{2} = 0\)và \(m + \frac{1}{2} = 0\) suy ra vô lý \( \Rightarrow \Delta ' > 0\forall m.\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

a) Ta có

\[\begin{array}{l}{x^2} + \left( {m - 5} \right)x - 3\left( {m - 2} \right) = 0\\{x^2} - 3x + \left( {m - 2} \right)x - 3\left( {m - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[\begin{array}{l}x\left( {x - 3} \right) + \left( {m - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\\left( {x - 3} \right)\left( {x + m - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[x = 3\] và \[x = 2 - m\]

Vậy phương trình trên luôn có nghiệm \[x = 3\] với mọi \[m \in \mathbb{R}\]

b) Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi hai nghiệm của phương trình trùng nhau

Theo câu a) suy ra \[2 - m = 3 \Rightarrow m =  - 1\]

Ta cũng có thể xét \[\Delta  = {\left( {m - 5} \right)^2} + 4.3\left( {m - 2} \right) = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2}\]

Phương trình có nghiệm kép khi

\[\begin{array}{l}\Delta  = 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} = 0\\m =  - 1\end{array}\]