Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f\left( x \right)\) được kí hiệu là

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục, có đạo hàm trên \[R\] thỏa mãn điều kiện \[f(x) + x\left( {{f^\prime }(x) - 2\sin x} \right) = {x^2}\cos x,x \in R\] và \[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\]. Tính \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} \]

Biết rằng \(\int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt}  = 4\). Tính \(\int\limits_1^3 {2f\left( x \right)dx} \)

Chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc \[v\left( t \right)\left( {m/s} \right)\] có dạng đường thẳng khi \[0 \le t \le 3\left( s \right)\] và \[8 \le t \le 15\left( s \right)\]và \[v\left( t \right)\] có dạng đường Parabol khi \[3 \le t \le 8\left( s \right)\](như hình vẽ)

Tính \(\int\limits_1^3 {\frac{{2{x^2} + 1}}{x}{\rm{d}}x} \) được kết quả là