Tính \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2x - \sin x + 4} \right){\rm{d}}x} \]

Từ giả thiết \[f(x) + x\left( {{f^\prime }(x) - 2\sin x} \right) = {x^2}\cos x\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow f(x) + x{f^\prime }(x) = {x^2}\cos x + 2x\sin x\\ \Leftrightarrow {\left( {xf\left( x \right)} \right)^\prime } = {\left( {{x^2}\sin x} \right)^\prime }\\ \Leftrightarrow xf\left( x \right) = {x^2}\sin x + C\end{array}\]

Mặt khác: \[f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = x\sin x.\]

Vận tốc của vật được biểu diển bởi hàm số \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right) = \int {10\sin t{\rm{d}}t} }  =  - 10\cos t + C\).

Khi vật bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc là \(5{\rm{ m/s}}\) nên ta có \(v\left( 0 \right) = 5 \Leftrightarrow  - 10\cos 0 + C = 5 \Leftrightarrow C = 15\).

Do đó \(v\left( t \right) =  - 10\cos t + 15\).

Ta có \( - 1 \le \cos t \le 1,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;\pi } \right]\)

                    \( \Leftrightarrow 10 \ge  - 10\cos t \ge  - 10,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;\pi } \right]\)

                    \[ \Leftrightarrow 25 \ge  - 10\cos t + 15 \ge 5,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;\pi } \right]\]

                        \( \Leftrightarrow 25 \ge v\left( t \right) \ge 5,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {0;\pi } \right]\)

Vậy vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất là \(25{\rm{ m/s}}\) khi \(t = \pi \).