Cho \(\widehat {xOy} = 90^\circ \) và điểm \(P\) nằm trong đó . Trên mặt phẳng đó lấy điểm \(A\) sao cho \(Ox\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PA\) và điểm \(B\) sao cho \(Oy\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PB\).

Khi đó:

a) Sai.

Xét \(\Delta OAP\) có \(Ox\) là đường trung trực của \(PA\) nên \(OA = OP,\,\,IA = IP\).

Xét hai tam giác vuông \(\Delta OAI\) và \(\Delta POI\), có: \(OA = OP,\,\,IA = IP\).

Do đó, \(\Delta OAI = \Delta OPI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc tương ứng)

b) Đúng.

Xét \(\Delta BOP\) có \(Oy\) là đường trung trực của \(PB\) nên \(OB = OP,\,\,EB = EP\).

Xét hai tam giác vuông \(\Delta OBE\) và \(\Delta OPE\) có: \(OB = OP,\,\,EB = EP\).

Suy ra \(\Delta OBE = \Delta OPE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (hai góc tương ứng).

c) Đúng.

Ta có: \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\), \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (cmt)

Lại có \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}} = \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_2}} = 90^\circ \).

Do đó, \(\widehat {AOB} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Vậy ba điểm \(O,\,\,A,\,\,B\) thẳng hàng.

d) Đúng.

Ta có: \(OA = OP,\,\,OB = OP\) (cmt).

Suy ra \(OA = OB\left( { = OP} \right)\).

Do đó, \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\).

Xét \(\Delta ABP\) có:

\(Ox\) là đường trung trực của \(PA;\)

\(Oy\) là đường trung trực của \(PB;\)

\(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\).

Suy ra \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực trong \(\Delta ABP\).