Cho \(\widehat {xOy} = 90^\circ \) và điểm \(P\) nằm trong đó . Trên mặt phẳng đó lấy điểm \(A\) sao cho \(Ox\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PA\) và điểm \(B\) sao cho \(Oy\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PB\).

Khi đó:

a) Đúng.

Vì điểm \(O\) là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta ABC\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\), suy ra \(AB = AC\) nên \(A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

Do đó, \(OA\) là đường trung trực của \(BC.\)

b) Sai.

Xét \(\Delta HBD\) và \(\Delta ECK\) có:

\(\widehat {BHD} = \widehat {CKE} = 90^\circ \)

\(BH = CK\)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Do đó, \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (g.c.g)

c) Đúng.

Vì \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) nên \(BD = CE\) (hai cạnh tương ứng).

d) Đúng.

\(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) suy ra \(\widehat {HDB} = \widehat {KEC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ODE},\,\,\widehat {OED}\) lần lượt là hai góc đối đỉnh với \(\widehat {HDB},\,\,\widehat {KEC}\).

Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {OED}\).

Do đó, \(\Delta ODE\) cân tại \(O.\)

a) Đúng.

Ta chứng minh được \(\Delta OAB = \Delta OAC\) (c.c.c) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OAC}\) (hai cạnh tương ứng).

b) Sai.

Ta có: \(AM = AN = AB + BM = AC + CN\) (\(AB = AC;\,\,AM = AN\))

\(\widehat {MAO} = \widehat {NAO}\) (cmt)

\(AO\) chung (gt)

Do đó, \(\Delta OAM = \Delta OAN\) (c.g.c)

c) Đúng.

Vì \(\Delta OAM = \Delta OAN\) (cmt) nên \(OM = ON\) (hai cạnh tương ứng).

Do đó, \(\Delta OMN\) cân tại \(O\).

d) Đúng.

Vì trung trực của \(OM,\,\,ON\) cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là giao điểm của ba đường trung trực trong \(\Delta MNO\)

Do đó, \(OI\) là đường trung trực của \(\Delta MNO\).