(4,0 điểm)

Nhà bạn Lan có một chiếc thùng rác mini hình trụ dùng trong phòng học. Thùng có bán kính đáy là 18cm và chiều cao là 50cm (cho \[\pi  \approx 3,14\], giả sử độ dày cùa thùng không đáng kể)

a) Tính thể tích của thùng rác đó

b) Để trang trí, Lan sơn mặt ngoài xung quanh và một mặt đáy của thùng (mặt đáy dưới). Biết rằng mỗi hộp sơn sơn được \[0,4{m^2}\] diện tích bề mặt. Hỏi Lan cần ít nhất bao nhiêu hộp sơn để sơn xong thùng rác?

a) Xét \[\left( O \right)\] có \[\widehat {FME} = {90^0}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \[\Delta HME\] vuông tại \[M\] có cạnh huyền \[HE\]

\[ \Rightarrow H,M,E\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HE\]                        (1)

Xét \[\Delta HIE\] vuông tại \[I\](do \(EF \bot AB\) tại \(I\)) có cạnh huyền \[HE\]

\[ \Rightarrow H,I,E\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HE\]                    (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow H,M,I,E\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[HE\]                  

b) Xét \[\Delta EMF\] vuông tại \[M\] có \[\widehat {MFE} + \widehat {MEF} = {90^0}\]

\[\Delta EIC\] vuông tại \[I\] có \[\widehat {ICE} + \widehat {IEC} = {90^0}\]

Hay \[\widehat {ICE} + \widehat {MEF} = {90^0}\]

\[ \Rightarrow \widehat {MFE} = \widehat {ICE}\]

Xét \[\Delta EMF\] và \[\Delta EIC\] có:

\[\widehat {EIC} = \widehat {FME} = {90^0}\]

\[\widehat {MFE} = \widehat {ICE}\] (cmt)

 $\Rightarrow \Delta EMF\backsim \Delta EIC$ (g.g)

Xét \[\Delta CEF\] có \[FM\] và \[CI\] là 2 đường cao cắt nhau tại \[H\]

\[ \Rightarrow H\] là trực tâm \[\Delta CEF\]

\[ \Rightarrow EH \bot CF\] (3)

Xét \[\left( O \right)\] có \[\widehat {ENF} = {90^0}\](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\[ \Rightarrow EN \bot CF\] (4)

Từ (3) và (4) \[ \Rightarrow E,H,N\] thẳng hàng

c) Gọi \[P\] là trung điểm của \[HC\]

Xét \[\Delta HMC\] vuông tại \[M\] có \[MP\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[HC\]

\[ \Rightarrow PM = PC = PH\]

\[ \Rightarrow \Delta MPH\] cân tại P

\[ \Rightarrow \widehat {PMH} = \widehat {PHM}\]

Mà \[\widehat {FHI} = \widehat {PHM}\] (2 góc đối đỉnh)

\[ \Rightarrow \widehat {PMH} = \widehat {FHI}\]

Mà \[\widehat {FHI} + \widehat {HFI} = {90^0}\]

\[ \Rightarrow \widehat {PMH} + \widehat {HFI} = {90^0}\]

Lại có \[\Delta OMF\] cân tại \[O\] (do \[OM = OF\])

\[ \Rightarrow \widehat {OMF} = \widehat {OFM}\]

Hay \[\widehat {OMF} = \widehat {HFI}\]

\[ \Rightarrow \widehat {PMH} + \widehat {OMF} = {90^0}\]

\[ \Rightarrow \widehat {PMO} = {90^0}\]\( \Rightarrow PM \bot OM\).

\[ \Rightarrow PM\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]

Vậy tiếp tuyến tại M của \[\left( O \right)\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng HC.