(1,5 điểm): Cho hai biểu thức:  \[A = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 1}}\] và  \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{2}{{x - 1}}\] với \[x \ge 0;x \ne 1\]

1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 0,25\]

2) Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\]

3) Cho \[P = A.B\]. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của \[x\] để  \[\left| P \right| + P = 0\]

Một cửa hàng văn phòng phẩm bán vở với giá \[10\,000\] đồng/quyển. Nếu khách hàng mua từ quyển thứ 11 trở đi, những quyển đó sẽ được giảm giá \[20\% \]. Bạn Nam có \[320\,000\] đồng. Hỏi Nam có thể mua tối đa bao nhiêu quyển vở?

Gọi số quyển vở tối đa Nam có thể mua là \[x\] (quyển, \[x \in {\mathbb{N}^ * }\])

Giá tiền \[10\] quyển sách đầu tiên bạn Nam mua là: \[10\,000.10 = 100\,000\] (đồng)

Số quyển sách Nam mua mà được giảm giá \[20\% \] là: \[x - 10\] (quyển)

Giá tiền Nam phải trả cho những quyển sách được giảm giá \[20\% \] là:

\[\left( {x - 10} \right).10\,000.\left( {100\%  - 20\% } \right) = 8\,000\left( {x - 10} \right) = 8\,000x - 80\,000\] (đồng)

Vì bạn Nam có \[320\,000\] đồng, nên ta có bất phương trình:
                \[8\,000x - 80\,000 + 100\,000 \le 320\,000\]

                \[8\,000x \le 300\,000\]

                \[x \le 37,5\]

                Mà \[x \in {\mathbb{N}^ * }\], \[x\] lớn nhất

                \[ \Rightarrow x = 37\](Thỏa mãn)

Vậy Nam có thể mua tối đa \[37\] quyển vở .

Tổng số kiện hàng \[240\] kiện hàng hình lập phương cạnh \[1{\rm{ }}m\]. Do đó, thể tích của khối hình chữ nhật là \(V = {240.1^3} = 240\;\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\)

Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của khối hình chữ nhật lần lượt là \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] (với  \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\]là các số nguyên dương tính theo đơn vị mét, vì các kiện hàng có cạnh \[1{\rm{ }}m\] và phải xếp khít nhau)

Thể tích khối hàng là \(V = a.b.c = 240\;\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\)

Chu vi mặt đáy cần tối thiểu hóa là \(P = 2 \cdot \left( {a + b} \right)\)

Để chu vi đáy \(P = 2(a + b)\) nhỏ nhất thì tổng \((a + b)\) phải nhỏ nhất. Theo bất đẳng thức tích và tổng, với một tích \(a \cdot b\) cố định, tổng \((a + b)\) nhỏ nhất khi \(a\) và \(b\) gần nhau nhất (lý tưởng nhất là \(a \approx b \approx \sqrt {a \cdot b} \) ).

Ta biết \(a \cdot b = \frac{{240}}{c}\). Vì \(c\) là số nguyên dương (chiều cao tính bằng số lớp kiện hàng), ta sẽ xét các giá trị của \(c\) là ước của \[240\] sao cho diện tích đáy \(S = a \cdot b = \frac{{240}}{c}\) cho phép chọn được \[b\] gần nhau nhất.

Xét bảng:

 Chu vi mặt đáy nhỏ nhất có thể đạt được là \(4\,{\rm{m}}\).