(4,0 điểm)

Cái mũ của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ bên.

 

a) Tính diện tích xung quanh phần hình nón của mũ.

b) Tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ (không kể riềm, mép và phần thừa). (Lấy \(\pi  \approx 3,14\) )?

a) Chứng minh bốn điểm \(K,E,B,I\) cùng thuộc một đường tròn.

Vì \(CD \bot AB\) tại \(I\) nên \(\widehat {CIB} = \widehat {CIA} = 90^\circ \) hay \(\widehat {KIB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta KIB\) vuông tại \(I\) nên ba điểm \(K,I,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(KB\). (1)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\widehat {KEB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta KEB\) vuông tại \(E\) nên ba điểm \(K,E,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(KB\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(K,E,B,I\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(KB\).

b) Chứng minh điểm \(Q\) thuộc đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)

Vì \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) và \(P,E,B\) thẳng hàng nên \(AE \bot BP\)

Vì \(CD \bot AB\) \(\left( {P \in CD} \right)\) nên \(PI \bot AB\)

Xét \(\Delta APB\) có: \(AE \bot BP\); \(PI \bot AB\)

\(AE\) cắt \(PI\) tại \(K\)

Suy ra \(K\) là trực tâm của \(\Delta APB\).

Suy ra \(BK \bot AP\)

Mà \(BK\) cắt \(AP\) tại \(Q\)

\( \Rightarrow \)\(BQ \bot AP\) tại \(Q\)

Suy ra \(\widehat {AQB} = 90^\circ \)

Suy ra điểm \(Q\) thuộc đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

Chứng minh \(IK\) là tia phân giác của góc \(\widehat {EIQ}\).

Xét đường tròn đường kính \(KB\) có: \(\widehat {KIE} = \widehat {KBE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ) hay \(\widehat {KIE} = \widehat {QBE}\)

Vì \(\widehat {KIA} = 90^\circ \) nên \(\Delta KIA\) vuông tại \(I\) nên ba điểm \(K,I,A\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(KA\). (3)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AQB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\widehat {AQK} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta AQK\) vuông tại \(Q\) nên ba điểm \(A,Q,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(KA\). (4)

Từ (3) và (4) suy ra bốn điểm \(A,Q,K,I\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(KA\).

Suy ra \(\widehat {QAK} = \widehat {QIK}\) hay \(\widehat {QAE} = \widehat {QIK}\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(\widehat {QAE} = \widehat {QBE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung )

Ta có: \(\widehat {KIE} = \widehat {QBE}\); \(\widehat {QAE} = \widehat {QIK}\); \(\widehat {QAE} = \widehat {QBE}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {QIK} = \widehat {KIE}\)

Suy ra \(IK\) là tia phân giác của góc \(\widehat {EIQ}\) (điều phải chứng minh)

c) Chứng minh khi dây \(CD\) thay đổi nhưng vẫn vuông góc với đường kính \(AB\) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác \(TQE\) luôn đi qua một điểm cố định.

Xét \(\Delta KEP\) vuông tại \(E\) có: \(ET\) là đường trung tuyến (do \(T\) là trung điểm của \(PK\))

\( \Rightarrow ET = PT = TK = \frac{{PK}}{2}\)

Khi đó \(\Delta TPE\) cân tại \(T\) \( \Rightarrow \widehat {TPE} = \widehat {TEP}\)

Xét \(\Delta OEB\) có: \(OE = OB = R\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta OEB\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow \widehat {OEB} = \widehat {OBE}\)

Xét \(\Delta PIB\) vuông tại \(I\) có: \(\widehat {IPB} + \widehat {IBP} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {TPE} = \widehat {TEP}\); \(\widehat {OEB} = \widehat {OBE}\) (cmt)

Suy ra \[\widehat {TEP} + \widehat {OEB} = 90^\circ \]

\( \Rightarrow \widehat {OET} = 90^\circ \)

*Chứng minh tương tự được \(\widehat {OQT} = 90^\circ \)

Vì \(\widehat {OET} = 90^\circ \) nên \(\Delta OET\) vuông tại \(E\) suy ra ba điểm \(O,E,T\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OT\). (5)

Vì \(\widehat {OQT} = 90^\circ \) nên \(\Delta OQT\) vuông tại \(Q\) suy ra ba điểm \(O,Q,T\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OT\). (6)

Từ (5) và (6) suy ra bốn điểm \(O,Q,T,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OT\).

Hay tứ giác \(TQOE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OT\).

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác \(TQE\) luôn đi qua điểm \(O\).

Vậy khi dây \(CD\) thay đổi nhưng vẫn vuông góc với đường kính \(AB\) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác \(TQE\) luôn đi qua một điểm cố định.