Tính giá trị của biểu thức \(P = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{3^ \circ } + ... + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{178^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{179^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{180^ \circ }.\)

Ta sử dụng tính chất của hai góc bù nhau: \({\rm{cos}}\left( {{{180}^ \circ } - x} \right) = - {\rm{cos}}x \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{{180}^ \circ } - x} \right) = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\).

Nhóm các số hạng từ hai đầu lại với nhau:

\(P = \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{179}^ \circ }} \right) + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{178}^ \circ }} \right) + ... + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{89}^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{91}^ \circ }} \right) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{90^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{180^ \circ }\)

Vì \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{179^ \circ } = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ }\), nên mỗi nhóm có dạng \(2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\).

\(P = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + ... + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{89^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{90^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{180^ \circ }\)

\(P = 2\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + ... + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{89}^ \circ }} \right) + {0^2} + {\left( { - 1} \right)^2}\)

Lại sử dụng tính chất góc phụ nhau cho biểu thức trong ngoặc: \({\rm{cos}}\left( {{{90}^ \circ } - x} \right) = {\rm{sin}}x \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{{90}^ \circ } - x} \right) = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\).

\({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + ... + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{89^ \circ } = \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{89}^ \circ }} \right) + ... + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{45^ \circ }\)

\( = \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{1^ \circ } + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{1^ \circ }} \right) + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{2^ \circ } + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{2^ \circ }} \right) + ... + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{44}^ \circ } + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{{44}^ \circ }} \right) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{45^ \circ }\)

\( = 44 \cdot 1 + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 44 + \frac{1}{2} = 44,5\)

Thay ngược vào biểu thức \(P\) ta được: \(P = 2 \cdot 44,5 + 0 + 1 = 89 + 1 = 90\).

Đáp số: \(90\)