Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1) (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho \(\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} = \sqrt 2 \;\,\left( 2 \right).\) Khi đó:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm khi m ≥ 0.
c) Phương trình (2) biến đổi được về phương trình \({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\).
d) Có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} = 6\) nên x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.
b) Sai.
Phương trình (1) có \(\Delta\)’ = [–(m + 1)]2 – 4m = m2 + 2m + 1 – 4m = (m – 1)2.
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt không âm thì \(\Delta\)’ > 0; x1 + x2 ≥ 0; x1.x2 ≥ 0.
+ Với \(\Delta\)’ > 0 thì (m – 1)2 > 0 nên m – 1 ≠ 0, suy ra m ≠ 1 (*).
Theo định lý Viète ta có: x1 + x2 = 2m + 2; x1x2 = 4m.
+ Với x1 + x2 ≥ 0 thì 2m + 2 ≥ 0 nên m ≥ –1 (**).
+ Với x1x2 ≥ 0 thì 4m ≥ 0 nên m ≥ 0 (***).
Từ (*), (**) và (***) ta có: m ≥ 0, m ≠ 1 (3).
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt không âm khi m ≥ 0, m ≠ 1.
c) Đúng.
\(\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} = \sqrt 2 \)
\({\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right)^2} = 2\)
\({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\).
Vậy phương trình (2) biến đổi được về phương trình \({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\).
d) Đúng.
Thay x1 + x2 = 2m + 2; x1x2 = 4m vào phương trình \({{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} - 2 = 0\) ta có:
\(2{\rm{m}} + 2 + 2\sqrt {4{\rm{m}}} - 2 = 0\)
\({\rm{m}} + 2\sqrt {\rm{m}} = 0\)
\(\sqrt {\rm{m}} \left( {1 + 2\sqrt {\rm{m}} } \right) = 0\)
m = 0 (thỏa mãn (3)) hoặc \(1 + 2\sqrt {\rm{m}} = 0\) (vô lí vì m ≥ 0, m ≠ 1).
Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. m < 0.
B. m > 1.
C. m > 2.
D. m < 3.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình x2 – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:
∆' = [– (m – 2)]2 – 1.(2m – 5) = m2 – 4m + 4 – 2m + 5
= m2 – 6m + 9 = (m – 3)2 ≥ 0 với mọi m.
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 với mọi m.
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right..\)
Theo bài, x1(1 – x2) + x2(1 – x1) < 4
x1 – x1x2 + x2 – x1x2 < 4
(x1 + x2) – 2x1x2 < 4
2(m – 2) – 2.(2m – 5) < 4
2m – 4 – 4m + 10 < 4
–2m < –2
m > 1.
Vậy ta chọn phương án B.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Xét phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:
∆' = [–(m + 1)]2 – 1.4m = m2 + 2m + 1 – 4m
= m2 – 2m + 1 = (m – 1)2 ≥ 0 với mọi m.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì ∆' > 0, tức là (m – 1)2 > 0, nên (m – 1)2 ≠ 0, suy ra m ≠ 1.
Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(x = \frac{{m + 1 + m - 1}}{1} = 2m;\,\,x = \frac{{m + 1 - \left( {m - 1} \right)}}{1} = 2.\)
Trường hợp 1. Xét x1 = 2m và x2 = 2, thay vào x1 = –3x2, ta được:
2m = –3.2, suy ra m = –3 (thỏa mãn).
Trường hợp 2. Xét x1 = 2 và x2 = 2m thay vào x1 = –3x2, ta được:
2 = –3.2m. suy ra \(m = - \frac{1}{3}\) (thỏa mãn).
Do đó \(m \in \left\{ { - 3; - \frac{1}{3}} \right\}.\)
Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \[{x_2} = \frac{4}{3}.\]
B. \[{x_2} = - \frac{4}{3}.\]
C. \[{x_2} = \frac{3}{4}.\]
D. \[{x_2} = - \frac{3}{4}.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(m = \frac{{39}}{{16}}.\)
B. m = 1.
C. \(m = \frac{5}{8}.\)
D. Không có giá trị m.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập