Tìm m để phương trình $x^4-(3m+5) x^2+{(m+1)}^2=0$ có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng.

Giả sử 4 nghiệm phân biệt của phương trình là x1,x2,x3,x4.

Đặt x2= y ≥0, ta được phương trình y2-(3m+5)y+(m+1)2=0(1)

Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt 0 < y1 < y2.

Khi đó thì (1) có bốn nghiệm là:$x_1=- \sqrt{y_2}; x_2=- \sqrt{y_1}; x_3= \sqrt{y_1}; x_4= \sqrt{y_2}$ 

Theo đầu bài bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng, nên x3+x1=2x2 và x4+x2=2x3

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình (1). Ta có hệ:

$\left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(3m+5\right)}^2-4{\left(m+1\right)}^2>0\\ S=3m+5>0\\ P={\left(m+1\right)}^2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5m^2+22m+21>0\\ m>\frac{-5}{3}\\ m\ne -1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>-\frac{7}{5}\\ m<-3\end{array}\right.\\ m>\frac{-5}{3}\\ m\ne -1\end{array}\right.$

$\Rightarrow m>-\frac{7}{5}$ và $m\ne -1$

Thay  $9y_1=y_2$vào định lí Viet $\left\{\begin{array}{l}{y}_1+y_2=3m+5\\ y_1.y_2={\left(m+1\right)}^2\end{array}\right.$

Thay (*) vào hệ trên ta được : $\left\{\begin{array}{l}{y}_1+9y_1=3m+5\\ y_1.9y_1={\left(m+1\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{y}_1= \frac{3m + 5}{10} \left(1\right)\hspace{0.17em}\\ 3y_1= \left|m +\hspace{0.17em}1\right| \left(2\right)\end{array}\right.$

Thay (1) vào (2) ta được:

 $$\begin{gathered} 3.\frac{3m + 5}{10}= \left|m+\hspace{0.17em}1\right|\Rightarrow 9m \hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}15 = 10.\left|m+\hspace{0.17em}1\right| \\ \Rightarrow 81m^2+\hspace{0.17em}270m +\hspace{0.17em}225 = 100m^2+\hspace{0.17em}200m +100\hspace{0.17em} \end{gathered}$$

 $\iff 19m^2-70m-125=0$$\iff \left[\begin{array}{l}m=5\\ m=-\frac{25}{19}\end{array}\right.$           

Chọn B