Phương trình ${\log }_3(x+2)+\frac{1}{2}{\log }_3{\left(x-5\right)}^2+{\log }_{\frac{1}{3}}8=0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Chọn C.

Điều kiện x > 0

Phương trình tương đương:

log₂x( log₃x - 1) + x( log₃x - 1) - 3(log₃x - 1) = 0

Hay ( log₃x - 1) ( log₂ x + x - 3) = 0

Ta có  đồng biến với x > 0

Suy ra (1) có nghiệm thì là nghiệm duy nhất, dễ thấy (1) có nghiệm x = 2

Suy ra 

Chọn A.

Điều kiện x > 0.

Đặt t = log₂x , phương trình trở thành : t² + (x - 1) t + 2x – 6 = 0

Hay t² – t – 6 + x(t + 2) = 0

(t + 2) (t - 3) + x(t + 2) = 0

Xét hàm số f(x) = log₂x + x - 3  với x > 0, có 

Suy ra f(x)  là hàm đồng biến trên khoảng 

Khi đó phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng 

Mà f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 9/4.