Cho $\Delta ABC$ vuông  tại A, trên cạnh AC lấu các điểm D,E sao cho $\widehat{ABD}=\widehat{DBE}=\widehat{EBC}$. Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho $DF=BC$. Tam giác CDF là tam giác gì?

Đáp án B

H là giao của hai đường cao BE;CF nên H là trực tâm của $\Delta ABC$

Gọi D là giao của AH và BC nên $AD\perp BC$

Xét $\Delta AFH$ vuông tại F, đường trung tuyến FI nên $FI=IA=\frac{1}{2}AH$

(trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Do đó $\Delta FAI$ cân tại I suy ra $\widehat{IFA}=\widehat{IAF}$ (1)

Xét $\Delta BFC$ vuông tại F, đường trung tuyến FK nên $FK=BK=\frac{1}{2}BC$

(trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Do đó $\Delta FBK$ cân tại K suy ra $\widehat{KFB}=\widehat{KBF}$ (2)

Xét $\Delta ABD$ vuông tại D nên $\widehat{DAB}+\widehat{DBA}={90}^0$

Từ (1) (2) suy ra:

$\widehat{IFA}+\widehat{KFB}=\widehat{IAF}+\widehat{KBF}=\widehat{DAB}+\widehat{DBA}={90}^0$

Ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{IFA}+\widehat{IFK}+\widehat{KFB}={180}^0\\ \Rightarrow \widehat{IFK}={180}^0-(\widehat{IFA}+\widehat{KFB})={180}^0-{90}^0={90}^0\end{array}$

Đáp án C

$\widehat{ABE}$ là góc ngoài tại đỉnh D của $\Delta ABK$ nên:

$\widehat{ABE}=\widehat{BAK}+\widehat{AKB}=\widehat{BAC}+{90}^0$

$\widehat{FCA}$ là góc ngoài tại đỉnh C của $\Delta ACH$ nên

$$\begin{gathered} \widehat{FCA}=\widehat{CAH}+\widehat{AHC}=\widehat{BAC}+{90}^0 \\ \Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{FCA}=\widehat{ABC}+{90}^0 \end{gathered}$$

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta FCA$ có:

$\begin{array}{l}\widehat{ABE}=\widehat{FCA}\left(cmt\right)\\ AB=FC\left(gt\right)\\ EB=AC\left(gt\right)\\ \Rightarrow \Delta ABE=\Delta FCA(c-g-c)\end{array}$

$\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{CFA}$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow AE=FA$ (hai cạnh tương ứng)

$\Delta AHF$ vuông tại H nên $\widehat{HAF}+\widehat{HFA}={90}^o$ hay $\widehat{HAF}+\widehat{CFA}={90}^o$

Mà $\widehat{BAE}=\widehat{CFA}$ (cmt) suy ra $\widehat{HAF}+\widehat{BAE}={90}^o$ hay $\widehat{EAF}={90}^o$

$\Delta AEF$ có: $AE=FA\left(cmt\right);\widehat{EAF}={90}^o\left(cmt\right)$ nên $\Delta AEF$ vuông cân tại A