Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24). a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng: sinA=2bcpp−ap−bp−c, ở đó p=a+b+c2. b) Bằng cách sử dụng công thức S=12bcsinA, hãy chứng tỏ rằn...

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cos A ⇒cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=b2+c2−a22bc (1) Ta lại có: sin2 A + cos2 A = 1 Do đó: sin2 A = 1 – cos2 A Vì góc A là một góc của tam giác ABC nên 0° < A^< 180° nên sin A > 0. Nên sinA=1− cos2A (2) Từ (1) và (2) ta có: sinA=1−b2+c2−a22bc2=2bc22bc2−b2+c2−a222bc2 =2bc2−b2+c2−a222bc2=2bc+b2+c2−a22bc−b2−c2+a22bc2 =b+c2−a2a2−b−c22bc=b+c+ab+c−aa+b−ca−b+c2bc =a+b+ca+b+c−2aa+b+c−2ca+b+c−2b2bc Lại có p=a+b+c2⇒a+b+c=2p Khi đó: sinA=2p.2p−2a2p−2b2p−2c2bc=16pp−ap−bp−c2bc Vậy sinA=2bcpp−ap−bp−c. b) Diện tích tam giác ABC là S=12bcsinA. Mà sinA=2bcpp−ap−bp−c Nên S=12bc.2bcpp−ap−bp−c=pp−ap−bp−c. Vậy S=pp−ap−bp−c.

Câu hỏi:

13/07/2024 832

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24).

a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng:

$\sin A = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , ở đó $p = \frac{a + b + c}{2}$ .

b) Bằng cách sử dụng công thức $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ , hãy chứng tỏ rằng:

$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Giải tam giác có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cos A

$\Rightarrow \cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ (1)

Ta lại có: sin² A + cos² A = 1

Do đó: sin² A = 1 – cos² A

Vì góc A là một góc của tam giác ABC nên 0° < $\hat{A}$ < 180° nên sin A > 0.

Nên $\sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\sin A = \sqrt{1 - {(\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})}^{2}}$ $= \sqrt{\frac{{(2 b c)}^{2}}{{(2 b c)}^{2}} - \frac{{(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}{{(2 b c)}^{2}}}$

$= \sqrt{\frac{{(2 b c)}^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}{{(2 b c)}^{2}}}$ $= \sqrt{\frac{(2 b c + b^{2} + c^{2} - a^{2}) (2 b c - b^{2} - c^{2} + a^{2})}{{(2 b c)}^{2}}}$

$= \frac{\sqrt{({(b + c)}^{2} - a^{2}) (a^{2} - {(b - c)}^{2})}}{2 b c}$ $= \frac{\sqrt{(b + c + a) (b + c - a) (a + b - c) (a - b + c)}}{2 b c}$

$= \frac{\sqrt{(a + b + c) (a + b + c - 2 a) (a + b + c - 2 c) (a + b + c - 2 b)}}{2 b c}$

Lại có $p = \frac{a + b + c}{2} \Rightarrow a + b + c = 2 p$

Khi đó: $\sin A = \frac{\sqrt{2 p . (2 p - 2 a) (2 p - 2 b) (2 p - 2 c)}}{2 b c}$ $= \frac{\sqrt{16 p (p - a) (p - b) (p - c)}}{2 b c}$

Vậy $\sin A = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

b) Diện tích tam giác ABC là $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ .

Mà $\sin A = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

Nên $S = \frac{1}{2} b c . \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Vậy $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, $\hat{A} = 120 °$ . Tính độ dài cạnh AC.

Xem đáp án » 13/07/2024 21,163

Câu 2:

Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 45° và 75°. Biết khoảng cách giữa hai bị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án » 13/07/2024 18,817

Câu 3:

Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:

a) Số đo các góc A, B, C;

b) Diện tích tam giác ABC.

Xem đáp án » 13/07/2024 17,984

Câu 4:

Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:

Xem đáp án » 13/07/2024 13,245

Câu 5:

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và $\hat{A C B} = 105 °$ (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Xem đáp án » 13/07/2024 13,071

Câu 6:

Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m và dùng giác kế đo được góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là 34°, góc lệch giữa phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là 24°. Biết chiều cao của chân giác kế là 1,5 m. Chiều cao của cái cây là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Xem đáp án » 13/07/2024 10,304

Câu 7:

Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, $\hat{C} = 120 °$ . Tính:

a) Độ dài cạnh AB;

b) Số đo các góc A, B;

c) Diện tích tam giác ABC.

Xem đáp án » 13/07/2024 9,701

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24). a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng: sinA=2bcpp−ap−bp−c, ở đó p=a+b+c2. b) Bằng cách sử dụng công thức S=12bcsinA, hãy chứng tỏ rằng: S=pp−ap−bp−c.

Nhà sách VIETJACK:

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, A^=120°. Tính độ dài cạnh AC.

Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính: a) Số đo các góc A, B, C; b) Diện tích tam giác ABC.

Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:

Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, C^=120°. Tính: a) Độ dài cạnh AB; b) Số đo các góc A, B; c) Diện tích tam giác ABC.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, $\hat{A} = 120 °$ . Tính độ dài cạnh AC.

Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:

a) Số đo các góc A, B, C;

b) Diện tích tam giác ABC.

Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, $\hat{C} = 120 °$ . Tính:

a) Độ dài cạnh AB;

b) Số đo các góc A, B;

c) Diện tích tam giác ABC.