Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24). a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng: sinA=2bcpp−ap−bp−c, ở đó p=a+b+c2. b) Bằng cách sử dụng công thức S=12bcsinA, hãy chứng tỏ rằn...

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cos A ⇒cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=b2+c2−a22bc (1) Ta lại có: sin2 A + cos2 A = 1 Do đó: sin2 A = 1 – cos2 A Vì góc A là một góc của tam giác ABC nên 0° < A^< 180° nên sin A > 0. Nên sinA=1− cos2A (2) Từ (1) và (2) ta có: sinA=1−b2+c2−a22bc2=2bc22bc2−b2+c2−a222bc2 =2bc2−b2+c2−a222bc2=2bc+b2+c2−a22bc−b2−c2+a22bc2 =b+c2−a2a2−b−c22bc=b+c+ab+c−aa+b−ca−b+c2bc =a+b+ca+b+c−2aa+b+c−2ca+b+c−2b2bc Lại có p=a+b+c2⇒a+b+c=2p Khi đó: sinA=2p.2p−2a2p−2b2p−2c2bc=16pp−ap−bp−c2bc Vậy sinA=2bcpp−ap−bp−c. b) Diện tích tam giác ABC là S=12bcsinA. Mà sinA=2bcpp−ap−bp−c Nên S=12bc.2bcpp−ap−bp−c=pp−ap−bp−c. Vậy S=pp−ap−bp−c.

Câu hỏi:

13/07/2024 965

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24).

a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng:

$\sin A = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , ở đó $p = \frac{a + b + c}{2}$ .

b) Bằng cách sử dụng công thức $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ , hãy chứng tỏ rằng:

$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Giải tam giác có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cos A

$\Rightarrow \cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ (1)

Ta lại có: sin² A + cos² A = 1

Do đó: sin² A = 1 – cos² A

Vì góc A là một góc của tam giác ABC nên 0° < $\hat{A}$ < 180° nên sin A > 0.

Nên $\sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\sin A = \sqrt{1 - {(\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})}^{2}}$ $= \sqrt{\frac{{(2 b c)}^{2}}{{(2 b c)}^{2}} - \frac{{(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}{{(2 b c)}^{2}}}$

$= \sqrt{\frac{{(2 b c)}^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}{{(2 b c)}^{2}}}$ $= \sqrt{\frac{(2 b c + b^{2} + c^{2} - a^{2}) (2 b c - b^{2} - c^{2} + a^{2})}{{(2 b c)}^{2}}}$

$= \frac{\sqrt{({(b + c)}^{2} - a^{2}) (a^{2} - {(b - c)}^{2})}}{2 b c}$ $= \frac{\sqrt{(b + c + a) (b + c - a) (a + b - c) (a - b + c)}}{2 b c}$

$= \frac{\sqrt{(a + b + c) (a + b + c - 2 a) (a + b + c - 2 c) (a + b + c - 2 b)}}{2 b c}$

Lại có $p = \frac{a + b + c}{2} \Rightarrow a + b + c = 2 p$

Khi đó: $\sin A = \frac{\sqrt{2 p . (2 p - 2 a) (2 p - 2 b) (2 p - 2 c)}}{2 b c}$ $= \frac{\sqrt{16 p (p - a) (p - b) (p - c)}}{2 b c}$

Vậy $\sin A = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

b) Diện tích tam giác ABC là $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ .

Mà $\sin A = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

Nên $S = \frac{1}{2} b c . \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Vậy $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, $\hat{A} = 120 °$ . Tính độ dài cạnh AC.

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1: áp dụng định lí sin và côsin

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7,góc A = 120 độ . Tính độ dài cạnh AC (ảnh 1)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A}$

$\Rightarrow \sin C = \frac{A B . \sin A}{B C} = \frac{5. \sin 120 °}{7} = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ .

Do đó: $\hat{C} \approx 38 °$ .

Lại có $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{B} = 180 ° - (\hat{A} + \hat{C}) = 180 ° - (120 ° + 38 °) = 22 °$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² – 2 . AB . AC . sin B = 5² + 7² – 2 . 5 . 7 . cos 22° ≈ 9

⇒ AC ≈ 3.

Cách 2: Dựng thêm đường cao và sử dụng định lí Pythagore.

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7,góc A = 120 độ . Tính độ dài cạnh AC (ảnh 2)

Dựng đường cao CH của tam giác ABC.

Đặt AH = x.

Ta có: $\hat{B A C} + \hat{C A H} = 180 °$ ( kề bù).

$\Rightarrow \hat{C A H} = 180 ° - \hat{B A C} = 180 ° - 120 ° = 60 °$ .

Tam giác ACH vuông tại H nên

$c o s \hat{C A H} = \frac{A H}{C A} \Rightarrow C A = \frac{A H}{c o s \hat{C A H}} = \frac{x}{c o s 60 °} = \frac{x}{\frac{1}{2}} = 2 x$ .

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: $C H = x \sqrt{3}$ .

Và BC² = BH² + CH² = (BA + AH)² + CH²

Thay số: 7² = (5 + x)² + 3x² (1)

Giải phương trình (1) ta được x = 1,5 là giá trị thỏa mãn.

Suy ra AC = 2x = 2 . 1,5 = 3.

Câu 2

Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là 45° và 75°. Biết khoảng cách giữa hai bị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án

Lời giải

Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan (ảnh 2)

Giả sử C là vị trí của ngọn hải đăng, kẻ CH vuông góc AB thì CH là khoảng cách giữa ngọn hải đăng và bờ.

Ta có: $\hat{C B H}$ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC.

Nên $\hat{B A C} + \hat{A C B} = \hat{C B H}$ .

$\Rightarrow \hat{A C B} = \hat{C B H} - \hat{B A C} = 75 ° - 45 ° = 30 °$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A}$

$\Rightarrow B C = \frac{A B . \sin A}{\sin C} = \frac{30. \sin 45 °}{\sin 30 °} = 30 \sqrt{2}$ .

Tam giác CBH vuông tại H nên $\sin \hat{C B H} = \frac{C H}{B C}$

$\Rightarrow C H = B C . \sin \hat{C B H} = 30 \sqrt{2} . \sin 75 ° = 15 + 15 \sqrt{3} \approx 41$ .

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng 41 m.

Câu 3

Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:

a) Số đo các góc A, B, C;

b) Diện tích tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và $\hat{A C B} = 105 °$ (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m và dùng giác kế đo được góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là 34°, góc lệch giữa phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là 24°. Biết chiều cao của chân giác kế là 1,5 m. Chiều cao của cái cây là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, $\hat{C} = 120 °$ . Tính:

a) Độ dài cạnh AB;

b) Số đo các góc A, B;

c) Diện tích tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24). a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng: sinA=2bcpp−ap−bp−c, ở đó p=a+b+c2. b) Bằng cách sử dụng công thức S=12bcsinA, hãy chứng tỏ rằng: S=pp−ap−bp−c.

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, A^=120°. Tính độ dài cạnh AC.

Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính: a) Số đo các góc A, B, C; b) Diện tích tam giác ABC.

Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:

Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, C^=120°. Tính: a) Độ dài cạnh AB; b) Số đo các góc A, B; c) Diện tích tam giác ABC.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, $\hat{A} = 120 °$ . Tính độ dài cạnh AC.

Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15, BC = 20. Tính:

a) Số đo các góc A, B, C;

b) Diện tích tam giác ABC.

Cho tam giác ABC có BC = 12, CA = 15, $\hat{C} = 120 °$ . Tính:

a) Độ dài cạnh AB;

b) Số đo các góc A, B;

c) Diện tích tam giác ABC.