Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: KA→+KC→=0→; GA→+GB→+GC→=0→; HA→+HD→+HC→=0→. Tính độ dài các vectơ KA→, GH→, AG→.

Câu hỏi:

13/07/2024 10,352

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}; \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ; $\vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ . Tính độ dài các vectơ $\vec{K A}, \vec{G H}, \vec{A G}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Vì K là điểm thỏa mãn $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}$ nên K là trung điểm của AC.

Vì G là điểm thỏa mãn $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vì H là điểm thỏa mãn $\vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ nên H là trọng tâm của tam giác ADC.

Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC, BD bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên K cũng là trung điểm của BD hay K chính là tâm của hình vuông ABCD.

Trong tam giác ABC, có BK là đường trung tuyến nên G ∈ BK và $G K = \frac{1}{3} B K$ (suy ra từ tính chất trọng tâm tam giác).

Trong tam giác ADC, có DK là đường trung tuyến nên H ∈ DK và $H K = \frac{1}{3} D K$ (suy ra từ tính chất trọng tâm tam giác).

Suy ra H, K, G thẳng hàng và cùng thuộc DB.

Hình vuông ABCD cạnh a nên AC = BD = $a \sqrt{2}$ .

Khi đó: AK = KC = DK = KB = $\frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{2}$ BD = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Ta có: GH = GK + KH =

$\frac{1}{3} B K + \frac{1}{3} D K = \frac{1}{3} . (\frac{a \sqrt{2}}{2} + \frac{a \sqrt{2}}{2}) = \frac{a \sqrt{2}}{3}$ .

Lại có: $G K = \frac{1}{3} B K = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{6}$ .

Xét tam giác AKG vuông tại K (AC ⊥ BD tại K), áp dụng định lí Pythagore ta có:

AG² = AK² + KG² $= {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{6})}^{2} = \frac{5 a}{9}$

Suy ra AG = $\frac{a \sqrt{5}}{3}$ .

Vậy ta tính được độ dài các vectơ $\vec{K A}, \vec{G H}, \vec{A G}$ là:

$| \vec{K A} | = K A = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$| \vec{G H} | = G H = \frac{a \sqrt{2}}{3}$

$| \vec{A G} | = A G = \frac{a \sqrt{5}}{3}$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tìm độ dài của vectơ $\vec{A B} + \vec{A C}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Dựng hình bình hành ABDC, nối A với D.

Áp dụng quy tắc hình hình hành ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ .

Khi đó $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A D} | = A D$ .

Do tam giác ABC đều nên AB = AC = BC = a.

Suy ra hình bình hành ABDC là hình thoi.

Nên BD = AB = a.

Ta có: $\hat{C A B} = 60 °$ (tam giác ABC đều)

Suy ra $\hat{A B D} = 180 ° - \hat{C A B} = 180 ° - 60 ° = 120 °$ (AC // BD, hai góc trong cùng phía bù nhau).

Xét tam giác ABD, áp dụng định lí côsin ta có:

AD² = AB² + BD² – 2 . AB . BD . cosB

= a² + a² – 2 . a . a . cos120° = 3a²

Suy ra $A D = a \sqrt{3}$ .

Vậy $| \vec{A B} + \vec{A C} | = A D = a \sqrt{3}$ .

Câu 2

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ ;

b) \ $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Do đó: $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{B A} + \vec{A B} = \vec{B B} = \vec{0}$ .

Vậy $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ .

b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do đó: $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}; \vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M C} = (\vec{M O} + \vec{O A}) + (\vec{M O} + \vec{O C})$

$= \vec{M O} + \vec{M O} + (\vec{O A} + \vec{O C}) = \vec{M O} + \vec{M O} + \vec{0} = \vec{M O} + \vec{M O}$ (1)

Và $\vec{M B} + \vec{M D} = (\vec{M O} + \vec{O B}) + (\vec{M O} + \vec{O D})$

$= \vec{M O} + \vec{M O} + (\vec{O B} + \vec{O D}) = \vec{M O} + \vec{M O} + \vec{0} = \vec{M O} + \vec{M O}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ .

Câu 3

Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực $\vec{F_{1}} = \vec{O A}, \vec{F_{2}} = \vec{O B}$ có độ lớn lần lượt là 400 N, 600 N (Hình 8). Cho biết góc giữa hai vectơ là 60°. Tìm độ lớn của vectơ hợp lực $\vec{F}$ là tổng của hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một máy bay có vectơ vận tốc chỉ theo hướng bắc, vận tốc gió là một vectơ theo hướng đông như Hình 7. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Khi máy bay nghiêng cánh một góc α, lực $\vec{F}$ của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng $\vec{F_{1}}$ và lực cản $\vec{F_{2}}$ (Hình 16). Cho biết α = 30° và $| \vec{F} | = a$ . Tính $| \vec{F_{1}} |$ và $| \vec{F_{2}} |$ theo a.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) $\vec{a} = (\vec{A C} + \vec{B D}) + \vec{C B}$ ;

b) $\vec{a} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{B C} + \vec{D A}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau:

a) $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A}$ ;

b) $\vec{A B} - \vec{A D}$ ;

c) $\vec{C B} - \vec{C D}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: KA→+KC→=0→; GA→+GB→+GC→=0→; HA→+HD→+HC→=0→. Tính độ dài các vectơ KA→, GH→, AG→.

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tìm độ dài của vectơ AB→+AC→.

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: a) BA→+DC→=0→; b) \MA→+MC→=MB→+MD→.

Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực F1→=OA→, F2→=OB→ có độ lớn lần lượt là 400 N, 600 N (Hình 8). Cho biết góc giữa hai vectơ là 60°. Tìm độ lớn của vectơ hợp lực F→ là tổng của hai lực F1→và F2→.

Một máy bay có vectơ vận tốc chỉ theo hướng bắc, vận tốc gió là một vectơ theo hướng đông như Hình 7. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Khi máy bay nghiêng cánh một góc α, lực F→ của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng F1→ và lực cản F2→ (Hình 16). Cho biết α = 30° và |F→|=a. Tính |F1→| và |F2→| theo a.

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài của các vectơ sau: a) a→=(AC→+BD→)+CB→; b) a→=AB→+AD→+BC→+DA→.

Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau: a) AB→+BC→+CD→+DA→; b) AB→−AD→; c) CB→−CD→.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}; \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ; $\vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ . Tính độ dài các vectơ $\vec{K A}, \vec{G H}, \vec{A G}$ .

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tìm độ dài của vectơ $\vec{A B} + \vec{A C}$ .

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ ;

b) \ $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ .

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) $\vec{a} = (\vec{A C} + \vec{B D}) + \vec{C B}$ ;

b) $\vec{a} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{B C} + \vec{D A}$ .

Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau:

a) $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A}$ ;

b) $\vec{A B} - \vec{A D}$ ;

c) $\vec{C B} - \vec{C D}$ .