Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: KA→+KC→=0→; GA→+GB→+GC→=0→; HA→+HD→+HC→=0→. Tính độ dài các vectơ KA→, GH→, AG→.

Câu hỏi:

13/07/2024 13,396

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}; \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ; $\vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ . Tính độ dài các vectơ $\vec{K A}, \vec{G H}, \vec{A G}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Vì K là điểm thỏa mãn $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}$ nên K là trung điểm của AC.

Vì G là điểm thỏa mãn $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vì H là điểm thỏa mãn $\vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ nên H là trọng tâm của tam giác ADC.

Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC, BD bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên K cũng là trung điểm của BD hay K chính là tâm của hình vuông ABCD.

Trong tam giác ABC, có BK là đường trung tuyến nên G ∈ BK và $G K = \frac{1}{3} B K$ (suy ra từ tính chất trọng tâm tam giác).

Trong tam giác ADC, có DK là đường trung tuyến nên H ∈ DK và $H K = \frac{1}{3} D K$ (suy ra từ tính chất trọng tâm tam giác).

Suy ra H, K, G thẳng hàng và cùng thuộc DB.

Hình vuông ABCD cạnh a nên AC = BD = $a \sqrt{2}$ .

Khi đó: AK = KC = DK = KB = $\frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{2}$ BD = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Ta có: GH = GK + KH =

$\frac{1}{3} B K + \frac{1}{3} D K = \frac{1}{3} . (\frac{a \sqrt{2}}{2} + \frac{a \sqrt{2}}{2}) = \frac{a \sqrt{2}}{3}$ .

Lại có: $G K = \frac{1}{3} B K = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{6}$ .

Xét tam giác AKG vuông tại K (AC ⊥ BD tại K), áp dụng định lí Pythagore ta có:

AG² = AK² + KG² $= {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{6})}^{2} = \frac{5 a}{9}$

Suy ra AG = $\frac{a \sqrt{5}}{3}$ .

Vậy ta tính được độ dài các vectơ $\vec{K A}, \vec{G H}, \vec{A G}$ là:

$| \vec{K A} | = K A = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$| \vec{G H} | = G H = \frac{a \sqrt{2}}{3}$

$| \vec{A G} | = A G = \frac{a \sqrt{5}}{3}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tìm độ dài của vectơ $\vec{A B} + \vec{A C}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Dựng hình bình hành ABDC, nối A với D.

Áp dụng quy tắc hình hình hành ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ .

Khi đó $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A D} | = A D$ .

Do tam giác ABC đều nên AB = AC = BC = a.

Suy ra hình bình hành ABDC là hình thoi.

Nên BD = AB = a.

Ta có: $\hat{C A B} = 60 °$ (tam giác ABC đều)

Suy ra $\hat{A B D} = 180 ° - \hat{C A B} = 180 ° - 60 ° = 120 °$ (AC // BD, hai góc trong cùng phía bù nhau).

Xét tam giác ABD, áp dụng định lí côsin ta có:

AD² = AB² + BD² – 2 . AB . BD . cosB

= a² + a² – 2 . a . a . cos120° = 3a²

Suy ra $A D = a \sqrt{3}$ .

Vậy $| \vec{A B} + \vec{A C} | = A D = a \sqrt{3}$ .

Câu 2

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ ;

b) \ $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Do đó: $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{B A} + \vec{A B} = \vec{B B} = \vec{0}$ .

Vậy $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ .

b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do đó: $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}; \vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M C} = (\vec{M O} + \vec{O A}) + (\vec{M O} + \vec{O C})$

$= \vec{M O} + \vec{M O} + (\vec{O A} + \vec{O C}) = \vec{M O} + \vec{M O} + \vec{0} = \vec{M O} + \vec{M O}$ (1)

Và $\vec{M B} + \vec{M D} = (\vec{M O} + \vec{O B}) + (\vec{M O} + \vec{O D})$

$= \vec{M O} + \vec{M O} + (\vec{O B} + \vec{O D}) = \vec{M O} + \vec{M O} + \vec{0} = \vec{M O} + \vec{M O}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ .

Câu 3

Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực $\vec{F_{1}} = \vec{O A}, \vec{F_{2}} = \vec{O B}$ có độ lớn lần lượt là 400 N, 600 N (Hình 8). Cho biết góc giữa hai vectơ là 60°. Tìm độ lớn của vectơ hợp lực $\vec{F}$ là tổng của hai lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một máy bay có vectơ vận tốc chỉ theo hướng bắc, vận tốc gió là một vectơ theo hướng đông như Hình 7. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Khi máy bay nghiêng cánh một góc α, lực $\vec{F}$ của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng $\vec{F_{1}}$ và lực cản $\vec{F_{2}}$ (Hình 16). Cho biết α = 30° và $| \vec{F} | = a$ . Tính $| \vec{F_{1}} |$ và $| \vec{F_{2}} |$ theo a.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) $\vec{a} = (\vec{A C} + \vec{B D}) + \vec{C B}$ ;

b) $\vec{a} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{B C} + \vec{D A}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ:

a) $\vec{B A} + \vec{A C}$ ;

b) $\vec{A B} + \vec{A C}$ ;

c) $\vec{B A} - \vec{B C}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}; \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ; $\vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ . Tính độ dài các vectơ $\vec{K A}, \vec{G H}, \vec{A G}$ .

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tìm độ dài của vectơ $\vec{A B} + \vec{A C}$ .

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ ;

b) \ $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ .

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) $\vec{a} = (\vec{A C} + \vec{B D}) + \vec{C B}$ ;

b) $\vec{a} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{B C} + \vec{D A}$ .