Lập phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là F1, F2 sao cho (E) đi qua A.

Câu hỏi:

13/07/2024 2,198

Lập phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là F₁, F₂ sao cho (E) đi qua A.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Cuối chương 7 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải:

Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\).

Elip (E) đi qua điểm A(0; 4), thay tọa độ điểm A vào phương trình elip ta được \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{4^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = {4^2} \Rightarrow b = 4\left( {do\,\,b > 0} \right)\).

Elip (E) có hai tiêu điểm là F₁(– 3; 0), F₂(3; 0), do đó c = 3.

Suy ra a² – b² = c² hay a² – 4² = 3² ⇔ a² = 9 + 16 = 25 = 5², suy ra a = 5 (do a > 0).

Khi đó a > b > 0 (do 5 > 4 > 0), vậy a = 5, b = 4 là thỏa mãn.

Vậy phương trình elip (E) cần lập là \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\,\,\,hay\,\,\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu sân bay A có hệ trục toạ độ Oxy (Hình 65), trong đó đơn vị trên mỗi trục tính theo ki-lô-mét và đài kiểm soát được coi là gốc toạ độ 0(0 ; 0). Nếu máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 500 km thì sẽ hiển thị trên màn hình ra đa như một điểm chuyển động trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy.

Một máy bay khởi hành từ sân bay B lúc 14 giờ. Sau thời gian t (giờ), vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M có toạ độ như sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t\\y = \frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t\end{array} \right.\).

Tìm vị trí của máy bay lúc 14 giờ 30 phút. Thời điểm này máy bay đã xuất hiện trên màn hình ra đa chưa?

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Lúc 14 giờ 30 phút máy bay đã bay được: 14 giờ 30 phút – 14 giờ = 30 phút = 0,5 giờ.

Vị trí của máy bay tại thời điểm t = 0,5 giờ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}.0,5 = 300\\y = \frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}.0,5 = 400\end{array} \right.\).

Vậy vị trí của máy bay lúc 14 giờ 30 phút ở tại điểm có tọa độ E(300; 400).

Ta có: \(\overrightarrow {OE} = \left( {300;\,400} \right)\) nên \(OE = \sqrt {{{300}^2} + {{400}^2}} = 500\), hay khoảng cách từ đài kiểm soát không lưu O đến vị trí E của máy bay lúc 14 giờ 30 phút là 500 km.

Vậy thời điểm này máy bay đã xuất hiện trên màn hình ra đa.

Câu 2

Lúc mấy giờ máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất? Tính khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Máy bay bay trên đường thẳng d có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t\\y = \frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t\end{array} \right.\).

Gọi H là hình chiếu của O đến đường thẳng d. Khi đó OH là khoảng cách ngắn nhất từ O đến H hay chính là tại vị trí H máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

Ta có H thuộc d nên tọa độ \(H\left( {\frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t;\frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)\).

Khi đó, \[\overrightarrow {OH} = \left( {\frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t;\frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right)\].

Lại có đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = - \frac{3}{{1400}}\left( { - \frac{{1400}}{3}; - \frac{{1400}}{3}} \right) = \left( {1;\,\,1} \right)\).

Vì OH ⊥ d nên \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{{1600}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right).1 + \left( {\frac{{1900}}{3} - \frac{{1400}}{3}t} \right).1 = 0\)\( \Leftrightarrow t = \frac{5}{4}\).

Khi đó H(– 50; 50).

Do đó, OH = \(50\sqrt 2 \).

Ta có: t = \(\frac{5}{4}\) giờ = 1 giờ 15 phút.

Vậy máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất lúc: 14 giờ + 1 giờ 15 phút = 15 giờ 15 phút và khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc này là \(50\sqrt 2 \) km.

Câu 3