Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 9,3cm, CD = 12,4cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, Dcùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

$\Delta ADB$ có S là trung điểm AD, M là trung diểm AB

$\Rightarrow SM$ là đường trung bình $\Delta ADB$

$\Rightarrow SM=\frac{1}{2}DB,SM//DB$

Chứng minh tương tự $\Rightarrow RN=\frac{1}{2}DB,RS//BD\Rightarrow SMNR$ là hình bình hành (1)

Mà $SM//BD,MN//AC,AC\perp BD\Rightarrow SM//MN\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra SMNR là hình chữ nhật nên 4 điểm M, N, R, S cùng nằm trên đường tròn

Gọi M, I, K là giao điểm của đường trung trực AB với AB, AC, BD, O là giao điểm của AC và BD.

Ta có: $OA=OC,OB=OD,AC\perp BD$(Vì ABCD là hình thoi)

Nên AC là trung trực của BD, BD là trung trực của AC

Do đó I, K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADB,\Delta ABC$ $\Rightarrow IA=R,KB=r$

Xét $\Delta OAB$ và $\Delta MKB$ có $\widehat{ABO}$ chung, $\widehat{AOB}=\widehat{KMB}\left(={90}^0\right)$

Do đó: $\Delta OAB~\Delta MKB$

$\Rightarrow \frac{OB}{MB}=\frac{AB}{KB}\Rightarrow \frac{OB}{\frac{a}{2}}=\frac{a}{r}\Rightarrow O{B}^2={\left(\frac{a^2}{2r}\right)}^2=\frac{a^4}{4r^2}$

Tương tự ta có: $O{A}^2=\frac{a^2}{4R^2}$

$\Delta OAB$ vuông tại O, theo định lý Pytago ta có:

$O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2\Rightarrow \frac{a^4}{4R^2}+\frac{a^4}{4R^2}=a^2\Rightarrow \frac{1}{R^2}+\frac{1}{r^2}=\frac{4}{a^2}\left(dfcm\right)$