Bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản

Thi Online Bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản

Đề số 1

Bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản

477 lượt thi
31 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = \frac{m x^{3}}{3} - m x^{2} + x - 1$ có cực đại và cực tiểu.

A. $0 < m ⩽ 1.$

B. $[\begin{matrix} m < 0 \\ m > 1 \end{matrix}$

C. 0<m<1.

D.m<0.

Xem đáp án

TXĐ: $D = R$

TH1:

m = 0 \to y = x - 1.

Hàm số không có cực trị.

TH2: $m \neq 0$

Ta có:

y = \frac{m x^{3}}{3} - m x^{2} + x - 1 \Rightarrow y^{'} = m x^{2} - 2 m x + 1.

Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình $y^{'} = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt

$\Rightarrow Δ' = m^{2} - m > 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m < 0 \\ m > 1 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y = - x^{4} + 2 m x^{2}$ có 3 điểm cực trị ?

A.m < 0

B.m = 0

C.m > 0

m ⩾ 0

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y = - x^{4} + 2 m x^{2} \Rightarrow y^{'} = - 4 x^{3} + 4 m x = - 4 x (x^{2} - m) \\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m \end{matrix} \end{array}$

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt hay phương trình $x^{2} = m$ có hai nghiệm phân biệt $\neq 0$ hay $m > 0$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3:

Cho hàm số $y = 2 x^{4} - (m + 1) x^{2} - 2.$ Tất cả các giá trị của m để hàm số có 1 điểm cực trị là:

A.m > −1

B.m < −1

C.m = −1

m ⩽ - 1

Xem đáp án

$y^{'} = 8 x^{3} - 2 (m + 1) x = 2 x [4 x^{2} - (m + 1)] \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ 4 x^{2} = m + 1 (1) \end{matrix}$

Ta có yêu cầu bài toán để hàm số có một điểm cực trị $\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có 1 nghiệm duy nhất ⇔(1) có 1 nghiệm x = 0 hoặc (1) vô nghiệm $\Leftrightarrow m + 1 ⩽ 0 \Leftrightarrow m ⩽ - 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 4:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{m x^{2}}{3} + 4$ đạt cực đại tại x = 2?

A.m = 1

B.m = 2

C.m = 3

D.m = 4

Xem đáp án

TXĐ $D = ℝ$

$y^{'} = - x^{2} + \frac{2}{3} m x \Rightarrow y^{''} = - 2 x + \frac{2}{3} m$

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} y' (2) = 0 \\ y'' (2) < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 2^{2} + \frac{2}{3} m .2 = 0 \\ - 2.2 + \frac{2}{3} m . < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 4 + \frac{4}{3} m = 0 \\ - 4 + \frac{2}{3} m < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m = 3 \\ m < 6 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 3$