Đề thi tham khảo Đánh giá năng lực Đại học Cần Thơ môn Toán có đáp án - Đề số 2

1. Đúng. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{2}\) nên đồ thị hàm số có một nhánh nằm dưới đường tiệm cận ngang và cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn \(\frac{1}{2}\).

2. Sai. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 3\).

3. Đúng. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\).

4. Đúng. Từ hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax - 1}}{{bx + c}}\) ta có giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung là điểm có tọa độ là \(\left( {0;\frac{{ - 1}}{c}} \right)\).

Từ bảng biến thiên ta có \( - \frac{1}{c} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{c} + \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow \frac{{c + 2}}{{2c}} > 0 \Leftrightarrow c \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

1. Đúng. Ta có \({S_1} = {u_1} = {1^2} - \frac{3}{2} \cdot 1 = - \frac{1}{2};{S_2} = {u_1} + {u_2} = {2^2} - \frac{3}{2} \cdot 2 = 1\).

2. Sai. Ta có \({u_2} = {S_2} - {u_1} = \frac{3}{2}\).

3. Đúng. Với \(n \ge 2\) thì \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = \left( {{n^2} - \frac{3}{2}n} \right) - \left[ {{{\left( {n - 1} \right)}^2} - \frac{3}{2}\left( {n - 1} \right)} \right] = - \frac{5}{2} + 2n\).

Mà \({u_1} = - \frac{1}{2} = - \frac{5}{2} + 2 \cdot 1\) nên \({u_n} = - \frac{5}{2} + 2n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

4. Đúng. Ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = - \frac{5}{2} + 2n - \left( { - \frac{5}{2} + 2\left( {n - 1} \right)} \right) = 2\) không đổi với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 2\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có công sai là 2.

1. Đúng. Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{x} = 2 - \frac{3}{x}\), khi đó \(f'\left( x \right) = \frac{3}{{{x^2}}} = g\left( x \right),\forall x \in D\).

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\) trên D.

2. Đúng. Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\frac{{2x - 3}}{x}{\rm{d}}x = \int {\left( {2 - \frac{3}{x}} \right)} } \,{\rm{d}}x = 2x - 3\ln \left| x \right| + C\).

3. Đúng. Vì \(F\left( 1 \right) = 5 \Rightarrow 2 \cdot 1 - 3\ln 1 + C = 5 \Rightarrow C = 3\). Vậy \(F\left( x \right) = 2x - 3\ln \left| x \right| + 3\).

4. Sai. Vì \(G\left( x \right) = \int {xf\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {x\left( {\frac{{2x - 3}}{x}} \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\left( {2x - 3} \right)} \,{\rm{d}}x = {x^2} - 3x + C\).

Mà \[G\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow {1^2} - 3 \cdot 1 + C = 4 \Rightarrow C = 6 \Rightarrow G\left( x \right) = {x^2} - 3x + 6\]. Vậy \(G\left( 2 \right) = 4\).

1. Sai. Điều kiện xác định: \(2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\). Tập xác định của hàm số là \[\left( {\frac{3}{2}\,;\, + \infty } \right)\].

2. Đúng. Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{\left( {2x - 3} \right)\ln 3}},\forall x \in \left( {\frac{3}{2}\,;\, + \infty } \right)\).

3. Sai. \[f\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right)\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x - 3} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x - 1} \right)\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3 = {x^2} - x - 1\\2x - 3 > 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\x > \frac{3}{2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\\x > \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\].

Vậy phương trình có một nghiệm \[x = 2\] .

4. Sai. \(f\left( x \right) \le 4 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x - 3} \right) \le 4\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3 \le 81\\2x - 3 > 0\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 42\\x > \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{3}{2} < x \le 42\).

Kết hợp với điều kiện \(x \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow S = \left\{ {2\,;\,3\,;\,4\,;\,...\,;\,42} \right\}\)

Tổng các phần tử của \(S\) bằng \(2 + 3 + 4 + ... + 42 = \frac{{41}}{2} \cdot \left( {2 + 42} \right) = 902\).

1. Đúng. Ta có \(AD{\rm{//}}BC \Rightarrow AD{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\).

2. Sai. Vì \(AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) nên \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\). (1)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AH \bot BC} \right.\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)

Vậy \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

3. Đúng. Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), kẻ \(AK \bot SD\) tại \(K\). (3)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AK} \right.\). (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AK\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB,SD\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) nên \(AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a\).

Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AK\) nên

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}\)

Vậy \(d\left( {AB,SD} \right) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

4. Sai. Diện tích đáy hình chóp là: \({S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 \).

Thể tích khối chóp cần tìm là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}\)(đơn vị thể tích).

1. Đúng. Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 3;0} \right)\] suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6;2;10} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\left( {1;2;1} \right)\) nhận \({\overrightarrow n _1} = \left( {3;1;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \(3\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 5z - 10 = 0\).

2. Đúng. Ta có \(3 \cdot 0 + 3 + 5 \cdot 1 - 10 = - 2 \ne 0\) nên \(D \notin \left( {ABC} \right)\).

Do đó bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành tứ diện.

3. Sai. Ta có mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 8; - 4; - 14} \right)\).

Vì \(\vec n\) không cùng phương với \(\vec a\) nên \(\vec a = \left( {4; - 2;7} \right)\) không là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

4. Đúng. Trường hợp 1: \(\left( P \right)\) qua hai điểm \(A\), \(B\) và song song với \(CD\), khi đó:

\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 8; - 4; - 14} \right)\) và \(A \in \,\left( P \right)\)\( \Rightarrow \left( P \right):4x + 2y + 7z - 15 = 0.\)

Vì \(4 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 7 \cdot 1 - 15 = 0\) nên \(M \in \left( P \right)\).

Trường hợp 2: \(\left( Q \right)\) qua hai điểm \(A\), \(B\) cắt \(CD\) tại trung điểm \(I\) của đoạn \(CD\).

Ta có \(I\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AI} \left( {0; - 1;0} \right)\), vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\) là \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( {2;0;3} \right)\) nên phương trình \(\left( Q \right):2x + 3z - 5 = 0\).

Vì \(2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 5 = 0\) nên \(M \in \left( Q \right)\).

1. Sai. \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow I\left( {0\,;\,3\,;\, - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {IA} = \left( {2\,;\,1\,;\,2} \right) \Rightarrow R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} = 3\).

2. Đúng. \(\left( P \right)\) có \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \overrightarrow {IA} = \left( {2\,;\,1\,;\,2} \right)\) và đi qua điểm \[A\left( {2\,;\,4\,;\,1} \right)\] nên ta có phương trình:

\(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 4} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 10 = 0\).

3. Sai. Gọi \(r\) là bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu với \(\left( Q \right)\).

Ta có \(d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3 - 2 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2\). Suy ra \(r = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \).

4. Sai. Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({S_1} = 4 \cdot \pi \cdot {3^2} = 36\pi \)\( \Rightarrow \) Diện tích mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) là \({S_2} = \frac{{{S_1}}}{4} = 9\pi \Rightarrow r' = \frac{3}{2}\).

Có \(\left( {S'} \right)\) tiếp xúc \(\left( S \right)\) nên \(II' = R + r' = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\).

1. Đúng. Xác suất \(P\left( B \right) = \frac{{{n_B}}}{{{n_\Omega }}} = \frac{{105}}{{200}} = \frac{{21}}{{40}};P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = \frac{{19}}{{40}}\).

2. Sai. Theo đề bài: Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời “sẽ mua” là \(70\% \). Do đó xác suất có điều kiện \(P\left( {A|B} \right) = 0,7\).

3. Đúng. Xác suất \(P\left( A \right) = P\left( {A|B} \right) \cdot P\left( B \right) + P\left( {A|\overline B } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,7 \cdot \frac{{21}}{{40}} + 0,3 \cdot \frac{{19}}{{40}} = 0,51\).

4. Sai. Ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A|B} \right) \cdot P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,7 \cdot \frac{{21}}{{40}}}}{{0,51}} \approx 0,72 = 72\% \).