Đề thi tham khảo Đánh giá năng lực Đại học Cần Thơ môn Toán có đáp án - Đề số 4

Xét biến cố A “Học sinh đó thích ăn chuối”, biến cố B “Học sinh đó thích ăn cam”,

1. Đúng. Vì lớp 12B có 40 học sinh, phép thử là chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp, nên số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 40\).

2. Sai. Theo giả thiết \(n\left( B \right) = 22\) nên xác suất của biến cố \(B\) là \[P\left( B \right) = \frac{{22}}{{40}} = 0,55\].

3. Đúng. Có \(n\left( {A \cup B} \right) = 40 - 2 = 38\). Vậy \(P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{38}}{{40}} = 0,95\).

4. Đúng. Ta có \(A \cap B\) là biến cố học sinh thích ăn cả hai loại cam và chuối.

Có \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B\,} \right) = \frac{{34}}{{40}} + \frac{{22}}{{40}} - \frac{{38}}{{40}} = \frac{{18}}{{40}} = 0,45\).

1. Sai. Từ đồ thị ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 4\,;\, - 2} \right)\) và \(\left( { - 2\,;\,0} \right)\).

2. Đúng. Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2\) nên \(d = 2.\)

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(\left( {0\,;\,1} \right)\) và \(\left( {1\,;\,0} \right)\) nên có phương trình là \(y = - x + 1\). Từ đó suy ra \(a = - 1\). Khi đó, \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + bx + c}}{{x + 2}}\).

Ta thấy đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm \(\left( {0\,;\, - 1} \right)\) và \(\left( { - 4\,;\,7} \right)\) nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{c}{2} = - 1\\\frac{{ - 16 - 4b + c}}{{ - 2}} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 2\\b = - 1\end{array} \right.\). Suy ra \(a + b + c + d = - 2\).

3. Đúng. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là \(A\left( {0\,;\, - 1} \right)\) và \(B\left( { - 4\,;\,7} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(AB\): \(2x + y + 1 = 0\). Ta có \(d\left( {M,AB} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 - 8 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5 \).

4. Sai. Từ ý b), suy ra \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} - x - 2}}{{x + 2}}\). Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

1. Sai. Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}}\)\( \Rightarrow {u_n} = - 2 \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^{n - 1}}\).

2. Sai. Số hạng thứ tư là \({u_4} = {u_1} \cdot {q^3} = \left( { - 2} \right) \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^3} = \frac{{27}}{4}\).

3. Đúng. Số hạng thứ hai là: \({u_2} = {u_1} \cdot q = \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - \frac{3}{2}} \right) = 3\).

Số hạng thứ năm là: \({u_5} = {u_1} \cdot {q^4} = \left( { - 2} \right) \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^4} = - \frac{{81}}{8}\).

\( \Rightarrow {u_2} + {u_5} = 3 + \left( { - \frac{{81}}{8}} \right) = - \frac{{57}}{8}\).

4. Đúng. Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\)\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = - 2 \cdot {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^n}\).

1. Sai. Gọi \(A\) là biến cố “Người đó có hút thuốc lá”.

Gọi \(B\) là biến cố “Người đó bị ung thư phổi”.

Ta có xác suất người đó hút thuốc lá \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{1124 + 1126}}{{10000}} = \frac{{2250}}{{10000}} = \frac{9}{{40}} = 22,5\% \).

2. Đúng. Số người bị ung thư phổi là \(n\left( B \right) = 1124 + 276 = 1400\).

Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{{1124}}{{1400}} \approx 80,29\% > 80\% \).

3. Đúng. Ta có \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{1400}}{{10000}} = 14\% \).

4. Đúng. Ta tính \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {BA} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)\( = \frac{{1124}}{{2250}} = \frac{{562}}{{1125}}\).

Tính \(P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = \frac{{P\left( {B\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}}\)\( = \frac{{276}}{{7750}}\).

Vậy \(\frac{{P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{562}}{{1125}}:\frac{{276}}{{7750}} \approx 14\).

1. Đúng. Thay \(R = 1,4;x = 0,02\% \) vào công thức ta được \(1,4 = {e^{k \cdot \frac{{0,02}}{{100}}}} \Rightarrow k \approx 1682,36\).

2. Đúng. \(R = {e^{1682,36\, \cdot \,\frac{{0,17}}{{100}}}} \approx 17,46\).

3. Đúng. Thay \(R = 100\) vào công thức, ta được \(100 = {e^{1682,36x}} \Rightarrow x \approx 0,27\% \).

4. Sai. Với \(R \ge 5\) thì \(x \ge 0,096\% \), tức là một người có nồng độ cồn trong máu từ khoảng 0,096% trở lên thì không được lái xe.

1. Sai. Thay toạ độ điểm \(M\) và phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta được \(2 - 1 + 0 - 1 = 0\) suy ra điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

2. Đúng. Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;1} \right)\).

3. Sai. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;1} \right)\].

Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) bằng \[\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\]\( = \frac{{\left| {2 - 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} \cdot \sqrt {4 + 1 + 1} }} = \frac{2}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

4. Đúng. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;1} \right)\].

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) suy ra \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} \) làm cặp vectơ chỉ phương nên \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2;1; - 3} \right)\).

\(\left( P \right)\) đi qua \(M\) nên \(\left( P \right):2x + y - 3z - 3 = 0\).

1. Sai. Đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\) có phương trình là \({x^2} + {y^2} = {4^2}\).

2. Đúng. Gọi phương trình của parabol \(y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì parabol đi qua các điểm \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {4;0} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {2;2} \right)\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\\{4a + 2b = 2}\end{array}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{1}{2}}\\{b = 2}\end{array}}\\{c = 0}\end{array}} \right.\).

Suy ra phương trình của parabol là: \(y = - \frac{1}{2}{x^2} + 2x = - 0,5{x^2} + 2x\).

3. Sai. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(\left( P \right)\), trục tung, trục hoành và đường thẳng \(x = 4\) là

\({S_P} = \int\limits_0^4 {\left( { - 0,5{x^2} + 2x} \right){\rm{d}}x = \frac{{16}}{3}} \).

4. Sai. Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \({S_H} = \int\limits_0^4 {\left[ {\sqrt {16 - {x^2}} - \left( { - 0,5{x^2} + 2x} \right)} \right]{\rm{d}}x} \approx 7,23\).

1. Đúng. \(\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( S \right){\rm{:}}\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{3}{2}\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2;1} \right)\).

2. Sai. Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Vì \[A{I^2} = {\left( {0 + 1} \right)^2}\, + {\left( {2 - 2} \right)^2}\, + {\left( {0 - 1} \right)^2}\, = \,2 > \,\frac{3}{2}\, = \,{R^2}\] nên điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

3. Đúng. Vì mặt cầu \[\left( {S'} \right)\] tâm \(A\) đi qua điểm \(B\) nên mặt cầu \[\left( {S'} \right)\] có bán kính

\[R\, = \,AB\, = \,\sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2}\, + \,{{\left( { - 6 - 2} \right)}^2}\, + \,{{\left( { - 2 - 0} \right)}^2}} \, = \,\sqrt {72} \].

Do đó, phương trình mặt cầu \[\left( {S'} \right)\]: \[{x^2}\, + \,{\left( {y - 2} \right)^2}\, + \,{z^2}\, = \,72\].

4. Đúng. Vì \[B{I^2} = {\left( {2 + 1} \right)^2}\, + {\left( { - 6 - 2} \right)^2}\, + {\left( { - 2 - 1} \right)^2}\, = \,82 > \,\frac{3}{2}\, = \,{R^2}\] nên điểm \(B\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có hai điểm \(A\), \(B\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Gọi \(K\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) thì \(K\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và \(K\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \)\( = \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right)\)

\( = M{K^2} + \overrightarrow {MK} \cdot \left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} } \right) + \overrightarrow {KA} \cdot \overrightarrow {KB} \)\( = M{K^2} - K{A^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất khi \(M{K^2}\) nhỏ nhất, tức là \(MK\) nhỏ nhất.

Đánh giá: \(IM + MK \ge IK \Rightarrow R + MK \ge IK \Rightarrow MK\)\( \ge IK - R\).

Suy ra \(MK\) nhỏ nhất bằng \(IK - R\), xảy ra khi \(I\), \(M\), \(K\) thẳng hàng và \(M\) nằm giữa hai điểm \(I\), \(K\). Như vậy \(M\) là giao điểm của đoạn thẳng \(IK\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Có \(\overrightarrow {IK} = \left( {2; - 4; - 2} \right)\), \(IK = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 6 = 4R = 4IM\).

Suy ra \(\overrightarrow {IK} = 4\overrightarrow {IM} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 4\left( {a + 1} \right)\\ - 4 = 4\left( {b - 2} \right)\\ - 2 = 4\left( {c - 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 1\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(a + b + c = 1\).