Đề thi tham khảo Đánh giá năng lực Đại học Cần Thơ môn Toán có đáp án - Đề số 1

1. Đúng. Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)\) và \(f'\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

2. Đúng. \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm qua \(x = 0\).

3. Sai. Giá trị cực tiểu là \(f\left( 2 \right) = {2^3} - 3 \cdot {2^2} + 2 = - 2\).

4. Đúng. Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị với đường nằm ngang trong khoảng giá trị cực trị \(\left( {{y_{ct}};{y_{cd}}} \right)\), tức là \(\left( { - 2;2} \right)\).

1. Đúng. \({u_2} = {u_1} + d = 3 + 4 = 7\).

2. Đúng. \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 3 + \left( {n - 1} \right)4 = 4n - 1\).

3. Sai. \(4n - 1 = 103 \Rightarrow 4n = 104 \Rightarrow n = 26\).

4. Đúng. \({S_{10}} = \frac{{10}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {10 - 1} \right)d} \right] = \frac{{10}}{2}\left( {2 \cdot 3 + 9 \cdot 4} \right) = 5\left( {6 + 36} \right) = 210\).

1. Đúng. Hệ số trước \(x,y,z\) là \(\left( {2; - 1;2} \right)\).

2. Sai. Ta có \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{3} = 2\).

3. Đúng. Thay vào: \(2 \cdot 1 - 2 + 2 \cdot 3 - 6 = 0\). Vậy \(A \in \left( P \right)\).

4. Đúng. \({\vec n_P} \cdot {\vec n_Q} = 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 0\). Vậy \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

1. Đúng. \({P_1} = \frac{{45 + 15}}{{100}} = 0,6\).

2. Đúng. \({P_2} = \frac{{45}}{{100}} = 0,45\).

3. Đúng. Tổng số thích xem phim là \(45 + 25 = 70\). Xác suất \({P_3} = \frac{{45}}{{70}} = \frac{9}{{14}}\).

4. Sai. \({P_4} = \frac{{15}}{{100}} = 0,15\).

1. Đúng. Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}{a^2}\).

2. Đúng. Thể tích khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) là \(V = {S_{ABC}} \cdot AA' = \frac{{{a^2}}}{2} \cdot a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).

3. Sai. Ta có \(\left( {A'B,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {A'BA}\). Mà \(\tan \widehat {A'BA} = \frac{{AA'}}{{AB}} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {A'BA} \approx 54,7^\circ \).

4. Đúng. Vì \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\). Kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\). Khi đó \[AA' \bot AH\]. Vậy \(d\left( {AA',BC} \right) = AH\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại nên \(AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Có 45 quả cầu nên số lượng quả cầu được đánh số chẵn là 22 và số lượng quả cầu đánh số lẻ là 23.

1. Đúng. Số cách lấy được cả 3 quả cầu đánh số chẵn là \(C_{22}^3 = 1540\).

2. Sai. Số cách lấy 3 quả tùy ý là \(n\left( \Omega \right) = C_{45}^3 = 14190\).

Ta chia các quả cầu thành các nhóm \({S_0};{S_1};{S_2};{S_3}\) là các nhóm chứa các quả cầu lần lượt có các số như sau:

\({S_0}\) gồm 5 số chia hết cho 8;

\({S_1}\) gồm 11 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4;

\({S_2}\) gồm 6 số chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8;

\({S_3}\) gồm 23 số lẻ.

Gọi \(A\) là biến cố: “tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8”.

Ta đi tính \(n\left( {\overline A } \right)\).

Để tích 3 số không chia hết cho 8 thì xảy ra các trường hợp:

3 số thuộc \({S_3}\).

1 số thuộc \({S_1}\) và 2 số thuộc \({S_3}\).

1 số thuộc \({S_2}\) và 2 số thuộc \({S_3}\).

2 số thuộc \({S_1}\) và 1 số thuộc \({S_3}\).

Khi đó, \(n\left( {\overline A } \right) = C_{23}^3 + C_{23}^2\left( {C_{11}^1 + C_6^1} \right) + C_{23}^1C_{11}^2 = 1771 + 4301 + 1265 = 7337\).

Suy ra \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{623}}{{1290}}\).

3. Sai. Để chọn được 3 số có tổng là số lẻ thì xảy ra hai trường hợp:

3 số đều lẻ

1 số lẻ và 2 số chẵn

Gọi \(B\) là biến cố: “tổng 3 số ghi trên 3 quả cầu là số lẻ”.

Ta có \(n\left( B \right) = C_{23}^3 + C_{23}^1C_{22}^2 = 7084\). Vậy \(P\left( B \right) = \frac{{7084}}{{14190}} = \frac{{322}}{{645}}\).

4. Đúng. Ta chia các quả cầu thành các nhóm \({C_0};{C_1};{C_2};{C_3}\) là các nhóm chứa các quả cầu lần lượt có các số dư như sau:

\({C_0}\) gồm 11 số chia hết cho 4.

\({C_1}\) gồm 12 số chia hết cho 4 dư 1.

\({C_2}\) gồm 11 số chia hết cho 4 dư 2.

\({C_3}\) gồm 11 số chia hết cho 4 dư 3.

Gọi \(C\) là biến cố: “tổng 3 số ghi trên 3 quả cầu là số chia hết cho 4”.

Xảy ra các trường hợp sau:

Cả 3 số đều thuộc \({C_0}\) có \(C_{11}^3 = 165\) cách chọn.

1 số thuộc \({C_0}\) và 2 số thuộc \({C_2}\) có \(C_{11}^1 \cdot C_{11}^2 = 605\) cách chọn.

1 số thuộc \({C_0}\), 1 số thuộc \({C_1}\) và 1 số thuộc \({C_3}\) có \(11 \times 12 \times 11 = 1452\) cách chọn.

1 số thuộc \({C_2}\) và 2 số thuộc \({C_3}\) có \(C_{11}^1 \cdot C_{11}^2 = 605\) cách chọn.

2 số thuộc \({C_1}\) và 1 số thuộc \({C_2}\) có \(C_{12}^2 \cdot C_{11}^1 = 726\) cách chọn.

Vậy \(n\left( C \right) = 3553 \Rightarrow P\left( C \right) = \frac{{3553}}{{C_{45}^3}} = \frac{{323}}{{1290}}\).

1. Đúng. Mặt cầu \(\left( S \right)\): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 9\) có \(I\left( {1\,;\, - 2\,;\,0} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

2. Sai. Thay \(x = y = z = 0\) vào phương trình của \(\left( S \right)\), được: \({\left( {0 - 1} \right)^2} + {\left( {0 + 2} \right)^2} + {0^2} = 9\), vô lí.

Vậy \(\left( S \right)\) không đi qua gốc tọa độ \(O\).

3. Sai. Vì \(IM = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}} = 4 > R = 3\) nên \(M\) nằm ngoài \(\left( S \right)\).

4. Đúng. Gọi \(A\left( {0;0;a} \right)\) là giao điểm của \(\left( S \right)\) với trục \(Oz\).

Vì \(A \in \left( S \right)\) nên \({\left( {0 - 1} \right)^2} + {\left( {0 + 2} \right)^2} + {a^2} = 9 \Leftrightarrow {a^2} = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 2\\a = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( S \right)\) cắt trục \(Oz\) tại các điểm có tọa độ \(\left( {0\,;\,0\,;\,2} \right)\) và \(\left( {0\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).

1. Sai. Ta có \(\int {\left( {2x + \sin \frac{x}{2}} \right){\rm{d}}x} = \int {2x{\rm{d}}x + \int {\sin \frac{x}{2}{\rm{d}}x} } = {x^2} - 2\cos \frac{x}{2} + C\).

2. Sai. Ta có \(\int {{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \int {\left( {{e^{2x}} + 2 + {e^{ - 2x}}} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left( {{e^{2x}} + 4x - {e^{ - 2x}}} \right) + C\).

3. Đúng. Ta có \(\int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} + \int {\frac{2}{{{x^2}}}} \,{\rm{d}}x = \ln \left| x \right| - \frac{2}{x} + C\).

4. Đúng. Ta có \(\int {\frac{{3x + 7}}{{x + 2}}\,} {\rm{d}}x = \int {\left( {3 + \frac{1}{{x + 2}}} \right)\,} {\rm{d}}x = 3\int {{\rm{d}}x} + \int {\frac{1}{{x + 2}}} \,{\rm{d}}x = 3x + \ln \left| {x + 2} \right| + C\).