Đề thi tham khảo Đánh giá năng lực Đại học Cần Thơ môn Toán có đáp án - Đề số 3

1. Đúng. Ta có \(\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {2^ + }} = - \infty \\\mathop {\lim y}\limits_{x \to - {2^ - }} = + \infty \end{array} \right\} \Rightarrow x = - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ + }} = - \infty \,\,\,\, \Rightarrow x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2. Sai. \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = 2 \Rightarrow \,\)Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 2\).

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - 3 \Rightarrow \,\)Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = - 3\).

3. Sai. Trong khoảng \(\left( {1;\,2} \right)\), \(y' > 0\) và trong khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), \(y' < 0\).

4. Sai. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \[y = f\left( x \right)\] đối dấu duy nhất một lần khi qua \[{x_0} = 2 \Rightarrow \] Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] có duy nhất duy nhất một điểm cực trị.

1. Đúng. Ta có \({u_1} = \frac{1}{3}\).

2. Đúng. Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{3},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{3}\).

3. Sai. Ta có \({u_4} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^4} = \frac{1}{{81}}\). Suy ra số hạng thứ 4 bằng \(\frac{1}{{81}}\).

4. Đúng. Ta có \({S_6} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^6}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{3}\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^6}} \right]}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{364}}{{729}}\).

1. Đúng. \(\int {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + x - 2} \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{x^{\frac{2}{3}}} + x - 2} \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{2}{x^2} - 2x + C = \frac{3}{5}\sqrt[3]{{{x^5}}} + \frac{1}{2}{x^2} - 2x + C\).

2. Sai. \(\int {\frac{1}{{2023{x^{2024}}}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{{2023}}\int {{x^{ - 2024}}{\rm{d}}x} = \frac{{ - 1}}{{{{2023}^2}{x^{2023}}}} + C\).

3. Sai. \(\int {{{\left( {2x - 2024} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{1}{6}{\left( {2x - 2024} \right)^3} + C\).

4. Sai. \(\int {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + 4{x^3}} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{20}}{x^5} + {x^4} + C\).

1. Sai. Các hệ số \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a = - 2\\ - 2b = - 4\\ - 2c = - 6\\d = - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d = - 11\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = 5\).

2. Đúng. Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại điểm \(A\left( {1;2;8} \right)\).

\( \Rightarrow \)\(\left( Q \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n = \overrightarrow {IA} = \left( {0;0;5} \right)\) và qua \(A\left( {1;2;8} \right)\).

\( \Rightarrow \)\(\left( Q \right):0\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( Q \right):z = 8\).

3. Đúng. Do \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 + 3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 < 5 = R\) nên \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn tâm \(H\), bán kính \(HA = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)} = \sqrt {{5^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt {22} \).

4. Sai. Gọi \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là một điểm nguyên nằm trên bề mặt của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có \(x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - 2{x_0} - 4{y_0} - 6{z_0} - 11 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} + {\left( {{y_0} - 2} \right)^2} + {\left( {{z_0} - 3} \right)^2} = 25\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = {x_0} - 1\\b = {y_0} - 2\\c = {z_0} - 3\end{array} \right.\) thì \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 25\) (*) và \(a,b,c \in \mathbb{Z}\).

Số bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) bằng với số bộ \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\).

Do \({a^2},\,{b^2},{c^2}\) vai trò như nhau nên có thể giả sử \({a^2} \le {b^2} \le {c^2}\).

\({a^2} + {b^2} + {c^2} = 25 \Rightarrow 3{a^2} \le 25 \Rightarrow {a^2} \in \left\{ {0;1;4} \right\}\).

Với \({a^2} = 4\), \(\left( * \right) \Rightarrow \)\({b^2} + {c^2} = 21 \Rightarrow \) không có \(b,c\) nguyên.

Với \({a^2} = 1\), \(\left( * \right) \Rightarrow \)\({b^2} + {c^2} = 24 \Rightarrow \) không tồn tại \(b,c\) nguyên.

Với \({a^2} = 0\), \(\left( * \right) \Rightarrow \)\({b^2} + {c^2} = 25 = {3^2} + {4^2} = {0^2} + {5^2}\).

+ Với \({a^2} = 0\) và \({b^2} + {c^2} = {3^2} + {4^2}\):

Chọn vị trí cho số \(0\) trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(3\) cách.

Chọn \(3\) hoặc \( - 3\) và xếp vào một vị trí trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(2 \cdot 2 = 4\)cách.

Vị trí còn lại cho \(4\) hoặc \( - 4\) trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(2\)cách.

Vậy có \(3 \cdot 4 \cdot 2 = 24\) bộ \(\left( {a;b;c} \right)\).

+ Với \({a^2} = 0\) và \({b^2} + {c^2} = {0^2} + {5^2}\):

Chọn vị trí cho hai số \(0\) trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(C_3^2 = 3\) cách.

Vị trí còn lại cho \(5\) hoặc \( - 5\) trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(2\)cách.

Vậy có \(3 \cdot 2 = 6\) bộ \(\left( {a;b;c} \right)\).

Vậy có tất cả \(24 + 6 = 30\) bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) hay \(30\) điểm nguyên nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\).

1. Đúng. Ta có \(H\) là trung điểm của \(AB\), mà tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\).

Ngoài ra \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

2. Đúng. Ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SH = \frac{{2a \cdot \sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) (do tam giác \(SAB\) đều cạnh \(2a)\).

3. Sai. Kẻ đường cao \(CK\) của tam giác \(ABC\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CK \bot AB}\\{CK \bot SH}\end{array} \Rightarrow CK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = CK} \right.\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - 3{a^2}} = a;CK = \frac{{CA \cdot CB}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 \cdot a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

4. Sai. Diện tích đáy hình chóp là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}a\sqrt 3 \cdot a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích khối chóp là: \({V_{S \cdot ABC}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}\).

Gọi \[A,B\] lần lượt là biến cố chọn được sản phẩm thuộc phân xưởng \[A,B\].

Ta có \[P\left( A \right) = 0,6\]; \[P\left( B \right) = 0,4\].

Gọi \[P\] là biến cố chọn phải một sản phẩm là phế phẩm.

Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng \[A\] là \[1\% \]\[ \Rightarrow P\left( {P|A} \right) = 0,01\].

Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng \[B\] là \[2\% \]\[ \Rightarrow P\left( {P|B} \right) = 0,02\].

1. Sai. Nếu sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng \[A\] thì xác suất để nó không là phế phẩm là

\[P\left( {\overline P |A} \right) = 1 - P\left( {P|A} \right) = 0,99\].

2. Đúng. Xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm và thuộc phân xưởng \[A\] là

\[P\left( {A \cap P} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {P|A} \right) = 0,6 \cdot 0,01 = 0,006\].

3. Đúng. Theo công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm là

\[P\left( P \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {P|A} \right) + P\left( B \right) \cdot P\left( {P|B} \right) = 0,6 \cdot 0,01 + 0,4 \cdot 0,02 = 0,014\].

4. Sai. Áp dụng công thức Bayes, nếu sản phẩm chọn ra là phế phẩm thì xác suất để nó thuộc phân xưởng \[A\] là: \[P\left( {A|P} \right) = \frac{{P\left( {A \cap P} \right)}}{{P\left( P \right)}} = \frac{{0,006}}{{0,014}} = \frac{3}{7}\].

1. Đúng. Công thức mức cường độ âm là \(L = 10\log \frac{I}{{{{10}^{ - 12}}}} = 10\left( {\log I - \log {{10}^{ - 12}}} \right)\)\( = 10\log I + 120\quad \left( {{\rm{dB}}} \right)\).

2. Sai. Thay \(I = 1000 = {10^3}{\mkern 1mu} \left( {W/{m^2}} \right)\) vào công thức

\(L = 10\log {10^3} + 120 = 10 \times 3 + 120 = 30 + 120 = 150\,{\mkern 1mu} \left( {{\rm{dB}}} \right)\).

Vì \(150\,{\mkern 1mu} {\rm{dB}} > 125{\mkern 1mu} \,{\rm{dB}}\), nên khẳng định “mức cường độ âm không vượt quá \(125{\mkern 1mu} \,{\rm{dB}}\)” là Sai.

3. Đúng. Điều kiện để mức cường độ âm không vượt quá \(130{\mkern 1mu} \,{\rm{dB}}\) là \(L \le 130\,{\mkern 1mu} {\rm{dB}}\).

\(10\log I + 120 \le 130 \Leftrightarrow \)\(10\log I \le 10 \Leftrightarrow \)\(\log I \le 1 \Leftrightarrow \)\(I \le 10\,{\mkern 1mu} \left( {{\rm{W/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

4. Đúng. Để đảm bảo sức khỏe, mức cường độ âm phải không vượt quá \(85{\mkern 1mu} \,{\rm{dB}}\), tức là \(L \le 85\,{\mkern 1mu} {\rm{dB}}\).

\(10\log I + 120 \le 85 \Leftrightarrow \)\(10\log I \le - 35 \Leftrightarrow \)\(\log I \le - 3,5 \Leftrightarrow \)\(I \le {10^{ - 3,5}}{\mkern 1mu} \,\left( {{\rm{W/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

1. Đúng. Xét các biến cố \(A\): “Chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress”; \(B\): “Chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày”. Khi đó, \(P\left( A \right) = 0,3;\,\,P\left( B \right) = 0,4\).

2. Đúng. Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress, tức là \(P\left( {B\mid A} \right)\), theo giả thiết ta có \(P\left( {B\mid A} \right) = 0,8\).

3. Đúng. Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là

\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B\mid A} \right) = 0,3 \cdot 0,8 = 0,24\).

4. Đúng. Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày, là \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,24}}{{0,4}} = 0,6\).