Đề thi tham khảo Đánh giá năng lực Đại học Cần Thơ môn Toán có đáp án - Đề số 5

1. Đúng. Ta có \({u_2} = {u_1} + 5 = 7;\,{u_3} = {u_2} + 5 = 12\).

2. Đúng. \({u_{n + 1}} - {u_n} = 5\) không đổi với \(\forall n \ge 1,\) suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng.

3. Sai. \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d = 5 \Rightarrow {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2 + \left( {n - 1} \right)5 = 5n - 3\).

4. Đúng. \({u_n} = 5n - 3 \Rightarrow 5n - 3 = 2027 \Leftrightarrow n = 406\).

1. Đúng. Ta có \({\overrightarrow n _1}\left( {2; - 2;1} \right)\) và \({\overrightarrow n _2}\left( {2; - 2;1} \right)\) là các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) tương ứng. Rõ ràng chúng cùng phương nhau (vì \({\overrightarrow n _1} = {\overrightarrow n _2}\)).

Mặt khác ta có \(1 \ne - 5\) là các hệ số tự do của phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng tương ứng.

Từ đó ta có hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song nhau.

2. Sai. Ta có: \(d\left( {A,\,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 2 + 1 - 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 2\).

3. Sai. Ta thấy \(A\left( {0;\,1;1} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) vì tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 = 0\).

Mà có \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) và \(A \in \left( P \right)\) nên \(d\left( {P,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( Q \right)} \right) = 2\).

4. Sai. Ta thấy \(B\left( {2;\,0;1} \right)\) thuộc \(\left( Q \right)\) vì tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\): \(2 \cdot 2 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 - 5 = 0\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(\left( P \right)\), ta có \(BH = d\left( {B,\,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( Q \right)} \right) = 2\).

Vì góc giữa đường thẳng \(BC\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(30^\circ \) nên suy ra \(\widehat {BCH} = 30^\circ \).

Do \(C \in \left( P \right)\) nên xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\) có \(BH = 2\), \(\widehat {BCH} = 30^\circ \), do đó ta có

\(\sin 30^\circ = \frac{{BH}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{BH}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{2}{{0,5}} = 4\).

1. Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2\) \( \Leftrightarrow x + 2 = 0\) suy ra \(d = 2.\)

2. Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thi đi qua điểm \(C\left( {0; - 5} \right)\) nên \[f\left( 0 \right) = - 5.\]

3. Sai. Dựa vào đồ thị ta thấy tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = ax + b\) và đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;0} \right),B\left( {0; - 4} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\b = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 4\end{array} \right.\).

Suy ra tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = - 2x - 4\).

4. Đúng. Từ các dữ kiện trên ta có \(y = - 2x - 4 + \frac{c}{{x + 2}}\) mà \(f\left( 0 \right) = - 5\) suy ra \(c = - 2\).

Vây đồ thị hàm số đã cho có dạng \(y = - 2x - 4 - \frac{2}{{x + 2}}\).

1. Sai. Mặt cầu \[\left( S \right)\] có phương trình là: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0\].

Suy ra, mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( { - 1;2;1} \right)\] và bán kính \[R = 3\].

2. Đúng. Thay tọa độ điểm \[A\left( {1;3; - 1} \right)\] vào phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] ta có:

\[{1^2} + {3^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + 2 \cdot 1 - 4 \cdot 3 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 = 0\]. Vậy, mặt cầu \[\left( S \right)\] đi qua điểm \[A\left( {1;3; - 1} \right)\].

3. Đúng. Khoảng cách từ tâm \[I\left( { - 1;2;1} \right)\] đến mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 2z - 6 = 0\] là:

\[d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3 = R\].

Suy ra, mặt cầu \[\left( S \right)\] tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 2z - 6 = 0\].

4. Đúng. Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của tâm \[I\left( { - 1;2;1} \right)\] trên mặt phẳng \[\left( Q \right):2x + 2y + z + 5 = 0\].

Khi đó, \[d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = IH = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 \cdot 2 + 1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{3}\].

Giả sử, giao tuyến của mặt phẳng \[\left( Q \right):2x + 2y + z + 5 = 0\] và mặt cầu \[\left( S \right)\] là một đường tròn có bán kính bằng \[r\].

Khi đó, \[r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {17} }}{3}\].

1. Đúng. Khi \(t = 0\): \({N_0} = 120{\rm{gam}}\) nên \(N\left( t \right) = 120 \cdot {e^{ - kt}}\).

2. Sai. Sau 10 ngày: \(N\left( {10} \right) = 120 \cdot {e^{ - 10k}} \Leftrightarrow 60 = 120 \cdot {e^{ - 10k}}\)

\( \Leftrightarrow {e^{ - 10k}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow - 10k = \ln \frac{1}{2} \Leftrightarrow 10k = \ln 2 \Leftrightarrow k = \frac{1}{{10}}\ln 2\).

3. Đúng. Ta có \(N\left( t \right) = 120 \cdot {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t}}\).

Lượng chất phóng xạ còn lại sau 20 ngày là \(N\left( {20} \right) = 120 \cdot {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right) \cdot 20}} = 30\) (gam).

4. Đúng. Ta có \(N\left( t \right) = 15 \Leftrightarrow 120 \cdot {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t}} = 15 \Leftrightarrow {e^{\left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t}} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow \left( { - \,\,\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t = \ln \frac{1}{8}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{10}}\ln 2} \right)t = \ln 8 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 8}}{{\frac{1}{{10}}\ln 2}} \Leftrightarrow t = 10 \cdot \frac{{\ln 8}}{{\ln 2}} = 30\) (ngày). Vậy \(m = 30\) ngày.

1. Đúng. Gọi \(A\) là biến cố: “Chọn được một người là nam”.

Ta có \(n\left( A \right) = C_{500}^1 = 500\); \(n\left( \Omega \right) = C_{900}^1 = 900\)\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{500}}{{900}} = \frac{5}{9}\).

2. Đúng. Gọi \(B\) là biến cố: “Chọn được một người có việc làm”.

Ta có \(n\left( B \right) = C_{600}^1 = 600\); \(n\left( \Omega \right) = C_{900}^1 = 900\)\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{600}}{{900}} = \frac{2}{3}\).

3. Sai. Xác suất để một người thất nghiệp khi người đó là nữ cao gấp \(\frac{{260}}{{40}} = 6,5\) lần xác suất để một người thất nghiệp khi người đó là nam.

4. Đúng. Gọi \(C\) là biến cố: “Chọn được một người là nữ”.

Gọi \(B\) là biến cố: “Chọn được một người có việc làm”.

Ta cần tính \(P\left( {C|B} \right)\).

Ta có \(P\left( {C|B} \right) = \frac{{P\left( {CB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{n\left( {BC} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}}}{{\frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}}} = \frac{{n\left( {BC} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{{140}}{{600}} = \frac{7}{{30}}\).

1. Đúng. Vì \(M\) là trung điểm của \[BC\] nên \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} }}{2}\).

2. Sai. Tam giác \[ABC\] cân tại \(A\) \( \Rightarrow AM \bot BC\).

Tam giác \[DBC\] cân tại \(D\) \( \Rightarrow DM \bot BC\).

\( \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right) \Rightarrow AH \bot BC \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 90^\circ \).

3. Đúng. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\frac{{\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM} }}{2}} \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} }}{2}\).

Ta có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\).

Nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} }}{2} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \left( {\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}} \right)} \right) = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{{a^2}}}{4}\).

4. Sai. \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AD} }}{2} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\left( {\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}\).

1. Sai. Xét các biến cố:

A: “Người được chọn mắc bệnh \[X\]”;

B: “Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm \[Y\]”.

Theo giả thiết ta có: \[P\left( A \right) = 0,2\% = 0,002\] suy ra \[P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,998\].

2. Sai. Xác suất người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm \[Y\] biết rằng người đó mắc bệnh \[X\] là \[P\left( {B|A} \right) = 1\].

3. Đúng. Có \[6\% \] những người không bị bệnh \[X\] lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm \[Y\] nên \[P\left( {B|\overline A } \right) = 6\% = 0,06\].

Theo công thức Bayes, ta có:

\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0,002 \cdot 1}}{{0,002 \cdot 1 + 0,998 \cdot 0,06}} = \frac{{50}}{{1547}} \approx 0,03\].

Vậy nếu người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm \[Y\] thì xác suất bị mắc bệnh \[X\] của người đó là khoảng 0,03.

4. Sai. Xác suất người được chọn không mắc bệnh \[X\] biết rằng người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm \[Y\] là \[P\left( {\overline A |B} \right) = 1 - P\left( {A|B} \right) = 1 - \frac{{50}}{{1547}} = \frac{{1497}}{{1547}}\].