Giải SBT Toán 12 Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (1; 2; −1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và đường thẳng AB đi qua A(0; 0; 2) nên phương trình tham số của đường thẳng AB là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là \(\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\).

b) Theo đề bài, đường thẳng d song song với đường thẳng AB nên \(\overrightarrow {AB} \) = (1; 2; −1) chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và đường thẳng d đi qua C(2; 3; 4).

Do đó, phương trình tham số của đường thẳng d \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 2t\\z = 4 - t\end{array} \right.\).

a) Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (2; −3; −1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d, phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - 3t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\).

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Do I thuộc đường thẳng d nên tọa độ điểm I có dạng I(1 + 2t; −1 – 3t; −2 – t), mà I cũng thuộc (P) nên ta có:

2(1 + 2t) – 3(−1 – 3t) – (−2 – t) + 2 = 0

⇔ 14t + 9 = 0

⇔ t = \( - \frac{9}{{14}}\).

Do đó, I\(\left( { - \frac{2}{7};\frac{{13}}{{14}}; - \frac{{19}}{{14}}} \right)\).

a) Theo đề, I là giao của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Gọi I(2 + 3t; −1 – t; – 3 + 2t), thay vào phương trình mặt phẳng (P) được

2 + 3t – (−1 – t) – (−3 + 2t) = 0

⇔ 2t + 6 = 0

⇔ t = −3.

Vậy I(−7; 2; −9).

b)  Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (1; −1; −1), vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow {{u_d}} \) = (3; −1; 2).

Do d' nằm trên (P), cắt đường thẳng d và vuông góc với d nên đường thẳng d' đi qua điểm I(−7; 2; −9) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]\) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\3&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)\) = (−1; −5; 2).

Phương trình tham số của đường thẳng d' là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 7 - t\\y = 2 - 5t\\z = - 9 + 2t\end{array} \right.\).

a) Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}} \) = (2; 1; −3) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}} \)= (−2; −1; 3) = −1(2; 1; −3) là hai vectơ cùng phương và điểm A(1; −2; 4) thuộc đường thẳng d nhưng không thuộc d' (do thay A và d' thì hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1 - 2s = 1\\2 - s = - 2\\5 + 3s = 4\end{array} \right.\) vô nghiệm).

Do đó, d ∥ d'.

b) Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}} \) = (2; 1; −3).

Lấy A(1; −2; 4) ∈ d và B(1; 2; 5) ∈ d' ⇒ \(\overrightarrow {AB} \) = (0; 4; 1).

Do (P) chứa hai đường thẳng d và d' nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

\(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\4&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&2\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\0&4\end{array}} \right|} \right)\) = (13; −2; 8).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

13(x – 1) – 2(y + 2) + 8(z – 4) = 0

⇔ 13x – 2y + 8z – 49 = 0.

Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}} \) = (−1; 1; 2), \(\overrightarrow {{u_{d'}}} \) = (3; 2; −1) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và d'.

Đường thẳng d đi qua A(1; 2; −3), đường thẳng d' đi qua B(−2; −1; 0)

⇒ \(\overrightarrow {AB} \) = (−3; −3; 3).

Có \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\3&2\end{array}} \right|} \right)\) = (−5; 5; −5).

Ta được \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right].\overrightarrow {AB} \) = −5.(−3) + 5.(−3) + 3.(−5) = −15 ≠ 0.

Vậy hai đường thẳng d và d' chéo nhau.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; −1; 2) và đường thẳng song song với mặt phẳng (Oxy). Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (Oxy) bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy).

Ta có: \(d\left( {A,\left( {Oxy} \right)} \right)\) = 2 > 1, do đó xe tải có chiều cao bằng 1 thì chui qua được gầm cầu.