Giải SBT Toán 12 Bài 18. Xác suất có điều kiện

Ta có: P(AB) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = \(\frac{2}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\) = \(\frac{7}{{30}}\).

Từ đó, ta có: P(A | B) = \(\frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{7}{{30}}:\frac{1}{3} = \frac{7}{{10}}\).

                     P(B | A) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{7}{{30}}:\frac{2}{5} = \frac{7}{{12}}\).

Gọi E là biến cố: “Trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.

       \(\overline E \)là biến cố: “Cả hai viên bi rút ra đều là viên bi xanh”.

Gọi A là biến cố: “Sơn lấy được viên bi xanh”;

       B là biến cố: “Tùng lấy được viên bi xanh”.

Ta có: P(\(\overline E \)) = P(AB).

P(A) = \(\frac{3}{{3 + 5}} = \frac{3}{8}\); P(B | A) = \(\frac{{C_2^1}}{{C_7^1}} = \frac{2}{7}\).

P(\(\overline E \)) = P(AB) = P(BA) = P(A). P(B | A) = \(\frac{3}{8}.\frac{2}{7} = \frac{3}{{28}}\).

So đó P(E) = 1 – P(\(\overline E \)) = 1 − \(\frac{3}{{28}}\) = \(\frac{{25}}{{28}}\).

Gọi A là biến cố: “Nam rút được thẻ mang số nguyên tố”.

       B là biến cố: “Hà rút được thẻ mang số nguyên tố”.

Trong hộp có 8 tấm thẻ ghi số nguyên tố là: {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}, suy ra n(A) = 8.

Nếu A xảy ra thì trong hộp chỉ còn 19 thẻ với 7 thẻ ghi số nguyên tố. Do đó:

P(A) = \(\frac{8}{{20}}\); P(B | A) = \(\frac{7}{{19}}\).

Vậy P(AB) = \(\frac{8}{{20}}\).\(\frac{7}{{19}}\) = \(\frac{{14}}{{95}}\) ≈ 0,1473.

a) Gọi A là biến cố: “An lấy được viên bi màu đỏ”.

           B là biến cố: “Bình lấy được viên bi màu đỏ”.

Do đó, ta có: P(AB) là xác suất hai viên bi Bình được đều là màu đỏ.

Ta có: Không gian mẫu là: n(Ω) = 17 + 13 = 30.

P(A) = \(\frac{{17}}{{30}}\); P(B | A) = \(\frac{{16}}{{29}}\).

Vậy P(AB) = \(\frac{{17}}{{30}}\).\(\frac{{16}}{{29}}\) = \(\frac{{136}}{{435}}\) ≈ 0,3126.

b) Gọi \(\overline A \) là biến cố: “An lấy được viên bi màu xanh”.

            \(\overline B \) là biến cố: “Bình lấy được viên bi màu xanh”.

Ta có: P(\(\overline A \)) = \(\frac{{13}}{{30}}\); P(\(\overline B \)) = \(\frac{{12}}{{29}}\).

Xác suất để cả hai lần lấy đều được viên bi màu xanh là: \(\frac{{13}}{{30}}\).\(\frac{{12}}{{29}}\) = \(\frac{{26}}{{145}}\).

Xác suất để cả hai lần lấy được viên bi màu đỏ là: \(\frac{{136}}{{435}}\).

Như vậy, xác suất để hai lần lấy được 2 viên bi khác màu là:

1 – \(\frac{{136}}{{435}}\) − \(\frac{{26}}{{145}}\) = \(\frac{{221}}{{435}}\) ≈ 0,508.

Giả sử: P(AB) = P(A).P(B) với P(A) > 0, P(B) > 0.

Ta có: P(A | B) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( B \right)}}{{P\left( B \right)}}\) = P(A);

           P(B | A) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( B \right)}}{{P\left( A \right)}}\) = P(B).

Vậy P(A | B) = P(A), P(B | A) = P(B).

Từ đó, việc xảy ra biến cố B không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A và ngược lại.

Do đó, A và B độc lập.

a) Ta có:

Các phần tử của biến cố A: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất” là:

A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6)};

Các phần tử của biến cố B: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”;

B = {(1; 2); (2; 2); (3; 2); (4; 2); (5; 2); (6; 2)}.

Có A ∩ B = {(1; 2)}.

Do đó, P(A) = \(\frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\); P(B) = \(\frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\); P(AB) = \(\frac{1}{{36}}\).

Nhận thấy \(\frac{1}{{36}}\) = \(\frac{1}{6}.\frac{1}{6}\) hay P(AB) = P(A).P(B).

Ta có: P(A | B) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{{36}}:\frac{1}{6} = \frac{1}{6}\) = P(A);

           P(B | A) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{1}{{36}}:\frac{1}{6} = \frac{1}{6}\) = P(B).

Vậy P(A | B) = P(A), P(B | A) = P(B).

Vậy hai biến cố A và B độc lập.

b) Các phần tử của biến cố C: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7” là:

C = {(1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1)};

Có B ∩ C = {(5; 2)}.

Ta có: P(C) = \(\frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\), P(BC) = \(\frac{1}{{36}}\).

Suy ra P(BC) = P(C).P(B).

Nhận thấy: P(B | C) = \(\frac{{P\left( {BC} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{1}{{36}}:\frac{1}{6} = \frac{1}{6}\) = P(B);

           P(C | A) = \(\frac{{P\left( {BC} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{1}{{36}}:\frac{1}{6} = \frac{1}{6}\) = P(C).

Vậy P(B | C) = P(B), P(C | A) = P(C).

Vậy hai biến cố C và B độc lập.

c) Ta có: A ∩ C = {(1; 6)} nên P(AC) = \(\frac{1}{6}\).

Ta có: P(AC) = P(C).P(A).

Tương tự ý a, b ta suy ra A và C là hai biến cố độc lập.