Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC, N là điểm nằm giữa hai điểm A và C. Đặt x = \(\frac{{AN}}{{AC}}\). Tìm x thỏa mãn AM ⊥ BN.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD
Vì M là trung điểm của BC nên ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)
⇔ \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} \)
Ta lại có: \(\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AB} + x\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = (1 - x)\overrightarrow {BA} + x\overrightarrow {BC} \)
⇒ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right)\left[ {(1 - x)\overrightarrow {BA} + x\overrightarrow {BC} } \right]\)
⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}(1 - x)\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}x{\overrightarrow {BC} ^2} - \left( {1 - x} \right){\overrightarrow {BA} ^2} - x\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)
⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}x.{a^2} - \left( {1 - x} \right){a^2}\)
⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\frac{3}{2}x - 1} \right){a^2}\)
Để AM vuông góc với BN thì \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = 0\)
⇔ \(\left( {\frac{3}{2}x - 1} \right){a^2} = 0\)
⇔ \(\frac{3}{2}x - 1 = 0\)
⇔ \(x = \frac{2}{3}\)
Vậy với \(x = \frac{2}{3}\) thì AM ⊥ BN.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = \({\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\)
= \({\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)
= \({\overrightarrow {MG} ^2} + 2.\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + {\overrightarrow {GC} ^2}\)
= \(3{\overrightarrow {MG} ^2} + \left( {{{\overrightarrow {GA} }^2} + {{\overrightarrow {GB} }^2} + {{\overrightarrow {GC} }^2}} \right) + \left( {2.\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} } \right)\)
= \(3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) + 2.\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\)
= \(3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
Đáp án đúng là D
Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0\)
⇒ \(\widehat {\left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right)} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)
Do đó tập hợp các điểm M thỏa mãn \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) là đường tròn đường kính AB.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập