Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC, N là điểm nằm giữa hai điểm A và C. Đặt x = \(\frac{{AN}}{{AC}}\). Tìm x thỏa mãn AM ⊥ BN.

Lời giải

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD

Vì M là trung điểm của BC nên ta có:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)

⇔ \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} \)

Ta lại có: \(\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AB} + x\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = (1 - x)\overrightarrow {BA} + x\overrightarrow {BC} \)

⇒ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right)\left[ {(1 - x)\overrightarrow {BA} + x\overrightarrow {BC} } \right]\)

⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}(1 - x)\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}x{\overrightarrow {BC} ^2} - \left( {1 - x} \right){\overrightarrow {BA} ^2} - x\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)

⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}x.{a^2} - \left( {1 - x} \right){a^2}\)

⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\frac{3}{2}x - 1} \right){a^2}\)

Để AM vuông góc với BN thì \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = 0\)

⇔ \(\left( {\frac{3}{2}x - 1} \right){a^2} = 0\)

⇔ \(\frac{3}{2}x - 1 = 0\)

⇔ \(x = \frac{2}{3}\)

Vậy với \(x = \frac{2}{3}\) thì AM ⊥ BN.