Câu hỏi:

13/07/2024 6,280

Cho tam giác ABC và G là trọng tâm tam giác. Với mỗi điểm M, chứng minh MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = \({\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\)

= \({\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)

= \({\overrightarrow {MG} ^2} + 2.\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + {\overrightarrow {GC} ^2}\)

= \(3{\overrightarrow {MG} ^2} + \left( {{{\overrightarrow {GA} }^2} + {{\overrightarrow {GB} }^2} + {{\overrightarrow {GC} }^2}} \right) + \left( {2.\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} } \right)\)

= \(3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) + 2.\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\)

= \(3M{G^2} + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right)\).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho đoạn thẳng AB. Tập hợp các điểm M nằm trong mặt phẳng thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0\) là:

A. Đường tròn tâm A bán kính AB.

B. Đường tròn tâm B bán kính AB.

C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.

D. Đường tròn đường kính AB.

Xem đáp án » 13/07/2024 6,611

Câu 2:

Cho tam giác ABC. Giá trị của \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} \) bằng:

A. AB . AC . cos\(\widehat {BAC}\).

B. – AB . AC . cos\(\widehat {BAC}\).

C. AB . AC . cos\(\widehat {ABC}\).

D. AB . AC . cos\(\widehat {ACB}\).

Xem đáp án » 13/07/2024 4,898

Câu 3:

Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC, N là điểm nằm giữa hai điểm A và C. Đặt x = \(\frac{{AN}}{{AC}}\). Tìm x thỏa mãn AM BN.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,402

Câu 4:

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\).

Xem đáp án » 13/07/2024 3,326

Câu 5:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thỏa mãn \(BM = \frac{1}{3}BC\), \(CN = \frac{5}{4}CA\). Tính:

 \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} \).

Xem đáp án » 13/07/2024 2,772

Câu 6:

Cho tam giác ABC. Giá trị của \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) bằng:

A. AB . BC . cos\(\widehat {ABC}\).

B. AB . AC . cos\(\widehat {ABC}\).

C. – AB . BC . cos\(\widehat {ABC}\).

D. AB . BC . cos\(\widehat {BAC}\).

Xem đáp án » 06/08/2022 2,019