Biết rằng đa thức f(x) = x⁴ + px³ – 2x² + 1 có hai nghiệm (khác 0) là hai số đối nhau. Chứng minh rằng p = 0.

a) x⁵ + 7x² − x − 2x⁵ + 3 − 5x²

= (x⁵ − 2x⁵) + (7x² − 5x²) − x + 3

= −x⁵ + 2x² − x + 3

Vì đa thức trên có hạng tử có bậc cao nhất là −x⁵ nên đa thức có bậc 5, hệ số cao nhất là −1 và hệ số tự do là 3.

a) A = (x − 1)(x + 2)(x − 3) − (x + 1)(x − 2)(x + 3)

Ta có:

 (x − 1)(x + 2)(x − 3)

= [x(x + 2) − 1(x + 2)](x − 3)

= (x² + 2x − x − 2)(x − 3)

= (x² + x − 2)(x − 3)

= x(x² + x − 2) − 3(x² + x − 2)

= x³ + x² − 2x − 3x² − 3x + 6

= x³ + (x² − 3x²) + (−2x − 3x) + 6

= x³ − 2x² − 5x + 6 (1)

(x + 1)(x − 2)(x + 3)

= [x(x − 2) + 1(x − 2)](x + 3)

= (x² − 2x + x − 2)(x + 3)

= (x² − x − 2)(x + 3)

= x(x² − x − 2) + 3(x² − x − 2)

= x³ − x² − 2x + 3x² − 3x − 6

= x³ + (−x² + 3x²) + (−2x − 3x) − 6

= x³ + 2x² − 5x − 6 (2)

Khi đó: A = (x − 1)(x + 2)(x − 3) − (x + 1)(x − 2)(x + 3) = (1) − (2)

= (x³ − 2x² − 5x + 6) − (x³ + 2x² − 5x − 6)

= x³ − 2x² − 5x + 6 − x³ − 2x² + 5x + 6

= (x³ − x³) + (−2x² − 2x²) + (−5x + 5x) + (6 + 6)

= −4x² + 12.