Cho hai điểm phân biệt M, M’ ở cùng phía đối với đường thẳng d (M, M’ không thuộc d). Chứng minh rằng nếu M, M’ có cùng khoảng cách đến đường thẳng d thì MM’ song song với d.

Gọi BG và CH là đường cao kẻ từ B và C của ∆ABC.

Gọi MD, ME lần lượt là khoảng cách từ M đến AB và AC.

Kẻ MF song song với cạnh AC (F ∈ AB).

MF giao với BG tại điểm I.

Tương tự cách làm của Bài 9.8 trong tam giác ABC cân tại A thì khoảng cách từ B đến AC bằng khoảng cách từ C đến AB. Ta dễ dàng suy ra được: BG = CH (4)

Tổng khoảng cách từ M đến AB và AC là MD + ME (1)

Ta có:

+) BG và ME cùng vuông góc với AC nên suy ra ME // BG hay ME // IG

Lại có: MF song song với AC hay MI // EG.

Suy ra MIGE là hình chữ nhật.

Do đó ME = IG (2)

+) Tam giác FBM cân tại F (do hai góc B và M bằng nhau). Với MD là khoảng cách từ M đến FB và BI là khoảng cách từ điểm B đến FM. Chứng minh tương tự Bài 9.8, ta dễ dàng suy ra được MD = BI (3)

Từ (1), (2), (3), (4) nên suy ra: MD + ME = BI + IG = BG = CH.

Vậy tổng khoảng cách từ M đến AB và AC chinh bằng khoảng cách từ C đến AB nên không đổi (đpcm).

Kẻ BD ⏊ AC (D ∈ AC); CE ⏊AB (E ∈ AB).

Xét ∆ADB và ∆AEC có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\left(=90°\right)$

AB = AC (Do ∆ABC cân tại A)

Do đó ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng) (đpcm).