Lúc 6 giờ một ô tô chạy từ A về B. Sau đó nửa giờ, một xe máy chạy từ B về A. Ô tô gặp xe máy lúc 8 giờ. Biết vân tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là $10\text{\hspace{0.17em}km/h}$  và khoảng cách $AB=195\text{\hspace{0.17em}km}$ . Tính vận tốc mỗi xe.

Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước lần lượt là $x,y$  (km/h;  $0<y<x$).

Vận tốc ca nô xuôi dòng là: $x+y$ (km/h).

Vận tốc ca nô ngược dòng là: $x-y$  (km/h).

Đổi: 2 giờ 30 phút $=\frac{5}{2}$ giờ; 1   giờ 20 phút $=\frac{4}{3}$  giờ.

Vì ca nô xuôi dòng một quãng sông dài $12km$ rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút nên ta có phương trình: $\frac{12}{x+y}+\frac{12}{x-y}=\frac{5}{2}$    (1).

Vì ca nô xuôi dòng $4km$  rồi ngược dòng $8km$  thì hết 1 giờ 20 phút nên ta có phương trình: $\frac{4}{x+y}+\frac{8}{x-y}=\frac{4}{3}$    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{c}\frac{12}{x+y}+\frac{12}{x-y}=\frac{5}{2}\\ \frac{4}{x+y}+\frac{8}{x-y}=\frac{4}{3}\end{array}\right.$.

Đặt  $a=\frac{1}{x+y};b=\frac{1}{x-y}$( $a>0;b>0$) , ta có hệ $\left\{\begin{array}{c}12a+12b=\frac{5}{2}\\ 4a+8b=\frac{4}{3}\end{array}\right.$      …  $\iff \left\{\begin{array}{c}a=\frac{1}{12}\\ b=\frac{1}{8}\end{array}\right.$.

Suy ra $\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x+y}=\frac{1}{12}\\ \frac{1}{x-y}=\frac{1}{8}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x+y=12\\ x-y=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=10\\ y=2\end{array}\right.$          (thỏa mãn điều kiện).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 10 km/h và vận tốc riêng của dòng nước là 2 km/h

Gọi vận tốc đạp xe hằng ngày của Nam là x (km/h, x > 0)

Vận tốc đạp xe lớn nhất của Nam là y (km/h, y > x)

Thời gian đi hàng ngày của Nam từ nhà đến trường là $\frac{10}{x}$ (h)

Thời gian đi của Nam từ nhà đến trường với vận tốc lớn nhất là $\frac{10}{y}$  (h)

Theo bài ra Nam tính toán và thấy rằng nếu đạp xe với vận tốc lớn nhất thì thời gian đi học sẽ rút ngắn 10 phút ($\frac{1}{6}\left(h\right)$) nên ta có pt:$\frac{10}{x}-\frac{10}{y}=\frac{1}{6}$

Thời gian đi học thực tế của Nam trong 5 km đầu là $\frac{5}{y}\left(h\right)$

Thời gian đi học thực tế của Nam trong 5 km cuối là $\frac{5}{x}\left(h\right)$

Theo bài ra vì thời gian đạp xe đi học sáng nay của Nam là 35 phút ($\frac{7}{12}\left(h\right)$)nên ta có phương trình $\frac{5}{x}+\frac{5}{y}=\frac{7}{12}$

Giải hệ pt: $\left\{\begin{array}{l}\frac{10}{x}-\frac{10}{y}=\frac{1}{6}\\ \frac{5}{x}+\frac{5}{y}=\frac{7}{12}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{60}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{60}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{15}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{20}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=15\left(tm\right)\\ y=20\left(tm\right)\end{array}\right.$

Vậy vận tốc đạp xe hàng ngày của Nam là 15 (km/h)

Vận tốc đạp xe lớn nhất của Nam là 20 (km/h)