Cho hình thoi ABCD có góc A bằng   $60°$, AB = a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó theo a.

Do  $DE\perp BC\Rightarrow \widehat{DBE}={90}^0$

Vì E và F đối xứng với nhau qua BD nên BD là đường trung trực của đoạn thẳng EF

 $\Rightarrow BF=BE;DF=DE$

$\Delta BFD=\Delta BED$ (c-c-c) $\Rightarrow \widehat{BFD}=\widehat{BED}={90}^0$

Gọi O là trung điểm của BD.

Xét tam giác vuông ABD vuông tại A có AO là trung tuyến nên    $AO=\frac{1}{2}BD=OB=OD \left(1\right)$

Tam giác vuông BDE vuông tại E có OE là trung tuyến nên   $EO=\frac{1}{2}BD=OB=OD \left(2\right)$

Tam giác vuông BFDvuông tại F có OF là trung tuyến nên $FO=\frac{1}{2}BD=OB=OD \left(3\right)$

Từ  $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow OA=OB=OD=OE=\text{OF}$  . Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC.

Do AC và AB là các tiếp tuyến nên  

$\widehat{OCA}=\widehat{OBA}={90}^0$

Do I là trung điểm của ED nên  $OI\perp ED$

(đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây cung)

hay  $\widehat{OID}=\widehat{OIA}={90}^0$

Gọi P là trung điểm của OA

Xét tam giác vuông OCA có CP là đường trung tuyến nên  $CP=\frac{1}{2}AO=OP=PA$

Xét tam giác vuông OBA có BP là đường trung tuyến nên  $BP=\frac{1}{2}AO=OP=PA$

Xét tam giác vuông OIA có IP là đường trung tuyến nên  $IP=\frac{1}{2}AO=OP=PA$

Vậy  $OP=PA=PC=PI=PB$  nên 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.