Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có OB = OD

Do ABCD là hình thoi nên ta có $AC\perp BD$  .

Ta có $\widehat{BAD}={60}^0$  nên $\widehat{BAO}={30}^0$  (tính chất đường chéo hình thoi)

Tam giác ABO vuông tại O có  

 $OB=ABsin\widehat{BAO}\Rightarrow OB=a.\sin {30}^0=\frac{a}{2}$

Xét tam giác vuông ABO có $\widehat{ABO}+\widehat{BAO}={90}^0$  ( hai góc phụ nhau) mà $\widehat{BAO}={30}^0$  suy ra $\widehat{ABO}={60}^0$  hay  $\widehat{EBO}={60}^0$

$OE=\frac{1}{2}AB=EB=EA$( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và E là trung điểm của AB.

Tam giác EOB là tam giác cân tại E có $\widehat{EBO}={60}^0$  nên tam giác EBO là tam giác đều $\Rightarrow OE=OB$

 Chứng minh tương tự với các tam giác vuông BOC, COD và DOA ta có :

 $OE=OB=OF=OC=OG=OD=OH$

Vậy 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O. Bán kính  $OB=\frac{a}{2}$

Do  $DE\perp BC\Rightarrow \widehat{DBE}={90}^0$

Vì E và F đối xứng với nhau qua BD nên BD là đường trung trực của đoạn thẳng EF

 $\Rightarrow BF=BE;DF=DE$

$\Delta BFD=\Delta BED$ (c-c-c) $\Rightarrow \widehat{BFD}=\widehat{BED}={90}^0$

Gọi O là trung điểm của BD.

Xét tam giác vuông ABD vuông tại A có AO là trung tuyến nên    $AO=\frac{1}{2}BD=OB=OD \left(1\right)$

Tam giác vuông BDE vuông tại E có OE là trung tuyến nên   $EO=\frac{1}{2}BD=OB=OD \left(2\right)$

Tam giác vuông BFDvuông tại F có OF là trung tuyến nên $FO=\frac{1}{2}BD=OB=OD \left(3\right)$

Từ  $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow OA=OB=OD=OE=\text{OF}$  . Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC.

Do AC và AB là các tiếp tuyến nên  

$\widehat{OCA}=\widehat{OBA}={90}^0$

Do I là trung điểm của ED nên  $OI\perp ED$

(đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây cung)

hay  $\widehat{OID}=\widehat{OIA}={90}^0$

Gọi P là trung điểm của OA

Xét tam giác vuông OCA có CP là đường trung tuyến nên  $CP=\frac{1}{2}AO=OP=PA$

Xét tam giác vuông OBA có BP là đường trung tuyến nên  $BP=\frac{1}{2}AO=OP=PA$

Xét tam giác vuông OIA có IP là đường trung tuyến nên  $IP=\frac{1}{2}AO=OP=PA$

Vậy  $OP=PA=PC=PI=PB$  nên 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.