Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.

Do AC và AB là các tiếp tuyến nên  

$\widehat{OCA}=\widehat{OBA}={90}^0$

Do I là trung điểm của ED nên  $OI\perp ED$

(đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây cung)

hay  $\widehat{OID}=\widehat{OIA}={90}^0$

Gọi P là trung điểm của OA

Xét tam giác vuông OCA có CP là đường trung tuyến nên  $CP=\frac{1}{2}AO=OP=PA$

Xét tam giác vuông OBA có BP là đường trung tuyến nên  $BP=\frac{1}{2}AO=OP=PA$

Xét tam giác vuông OIA có IP là đường trung tuyến nên  $IP=\frac{1}{2}AO=OP=PA$

Vậy  $OP=PA=PC=PI=PB$  nên 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có OB = OD

Do ABCD là hình thoi nên ta có $AC\perp BD$  .

Ta có $\widehat{BAD}={60}^0$  nên $\widehat{BAO}={30}^0$  (tính chất đường chéo hình thoi)

Tam giác ABO vuông tại O có  

 $OB=ABsin\widehat{BAO}\Rightarrow OB=a.\sin {30}^0=\frac{a}{2}$

Xét tam giác vuông ABO có $\widehat{ABO}+\widehat{BAO}={90}^0$  ( hai góc phụ nhau) mà $\widehat{BAO}={30}^0$  suy ra $\widehat{ABO}={60}^0$  hay  $\widehat{EBO}={60}^0$

$OE=\frac{1}{2}AB=EB=EA$( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và E là trung điểm của AB.

Tam giác EOB là tam giác cân tại E có $\widehat{EBO}={60}^0$  nên tam giác EBO là tam giác đều $\Rightarrow OE=OB$

 Chứng minh tương tự với các tam giác vuông BOC, COD và DOA ta có :

 $OE=OB=OF=OC=OG=OD=OH$

Vậy 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O. Bán kính  $OB=\frac{a}{2}$