Cho tam giác ABC và điểm O thoả mãn OA = OB = OC. Chứng minh O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Giả sử tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G.

Do G cũng là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC nên G thuộc đường trung trực của BC

Mà MB = MC nên M thuộc đường trung trực của BC

Do đó đường thẳng GM là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Mà A thuộc đường thẳng GM nên AB = AC

Chứng minh tương tự ta cũng có BC = BA, suy ra AB = AC = BC

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Xét hai tam giác ABD và ACD, ta có:

AB = AC (tính chất tan giác cân)

AD là cạnh chung

$\widehat{BAD}$ = $\widehat{CAD}$  (do AD là tia phân giác góc A)

Suy ra ∆ABD = ∆ACD (c.g.c)

Do đó DB = DC (hai cạnh tương ứng)

Ta có AB = AC và DB = DC

Suy ra AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Vậy AD là đường trung trực của tam giác ABC.